Có bao nhiêu cặp số nguyên dương \(\left( {a;b} \right)\), trong đó \(a,\,\,b \in \left[ { - 2022;2022}

Câu hỏi số 538280:

Vận dụng cao

Có bao nhiêu cặp số nguyên dương \(\left( {a;b} \right)\), trong đó \(a,\,\,b \in \left[ { - 2022;2022} \right]\) thỏa mãn \({\left( {\dfrac{{2a}}{{a + {2^b}}}} \right)^{{2^b}}} \ge {\left( {\dfrac{{a + {2^b}}}{{{2^{b + 1}}}}} \right)^a}\)?

A. 10

B. 3

C. 9

D. 11

Đáp án đúng là: C

Phương pháp giải

- Đặt ẩn phụ \({2^b} = x \ge 2\).

- Xét các trưởng hợp \(1 \le a < x\); \(a > x > 1\) suy ra vô lí. Khi đó \(a = x \Leftrightarrow a = {2^b}\).

Giải chi tiết

Đặt \({2^b} = x \ge 2\) (vì \(b\)nguyên dương)

Khi đó bất phương trình trở thành \({\left( {\dfrac{{2a}}{{a + x}}} \right)^x} \ge {\left( {\dfrac{{a + x}}{{2x}}} \right)^a} \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{{2a}}{{a + x}}} \right)^x}.{\left( {\dfrac{{2x}}{{a + x}}} \right)^a} \ge 1\)

Xét hàm số \(f\left( {a;x} \right) = {\left( {\dfrac{{2a}}{{a + x}}} \right)^x}.{\left( {\dfrac{{2x}}{{a + x}}} \right)^a}\).

Khi \(a = x\) thì \(f\left( {a;x} \right) = 1\) (thỏa mãn).

Khi \(a < x\) thì \(\dfrac{{2a}}{{a + x}} < 1 \Rightarrow {\left( {\dfrac{{2a}}{{a + x}}} \right)^a} > {\left( {\dfrac{{2a}}{{a + x}}} \right)^x}\) \( \Rightarrow f\left( x \right) < {\left( {\dfrac{{4ax}}{{{{\left( {a + x} \right)}^2}}}} \right)^a}\).

Lại có \({\left( {a - x} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow {a^2} - 2ax + {x^2} \ge 0 \Leftrightarrow {a^2} + {x^2} \ge 4ax\) nên \( \Rightarrow f\left( x \right) < {\left( {\dfrac{{4ax}}{{{{\left( {a + x} \right)}^2}}}} \right)^a} \le {1^a} = 1\).

Hoàn toàn tương tự khi \(a > x\) ta cũng chứng minh được \(f\left( x \right) < 1\).

Do đó \(f\left( {a;x} \right) \ge 1 \Leftrightarrow a = x \Leftrightarrow a = {2^b}\).

Mâu thuẫn với giả thiết.

Mà \(a,b\) nguyên dương và \(a,b \in \left[ { - 2022;2022} \right]\)

\( \Rightarrow b \in \left[ {1;10} \right]\) và với mỗi \(b\) thì \(a\) luôn thỏa mãn.

Vậy có 10 cặp số thỏa mãn.

Xem lời giải Hỏi đáp / Thảo luận

Câu hỏi:538280

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.