Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {2; - 1; - 1} \right),\,\,B\left( {0;1; -

Câu hỏi số 538281:

Vận dụng cao

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {2; - 1; - 1} \right),\,\,B\left( {0;1; - 2} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x + y - 2z - 2 = 0\). Điểm \(M\) thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\) sao cho \(\angle AMB\) lớn nhất thì giá trị của \(\cos \angle AMB\) bằng

A. \(\dfrac{5}{{13}}\)

B. \(\dfrac{{12}}{{13}}\)

C. \( - \dfrac{{12}}{{13}}\)

D. \( - \dfrac{5}{{13}}\)

Đáp án đúng là: D

Phương pháp giải

Giải chi tiết

Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;2; - 1} \right)\), \(AB = 3\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x + y - 2z - 2 = 0\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2;1; - 2} \right)\).

\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{n_P}} = - 4 + 2 + 2 = 0 \Rightarrow AB//\left( P \right)\).

Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\) \( \Rightarrow I\left( {1;0; - \dfrac{3}{2}} \right)\).

Xét mặt cầu \(\left( S \right)\) đường kính \(AB\) \( \Rightarrow \) Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\), bán kính \(R = \dfrac{3}{2}\).

Ta có: \(d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {2 + 0 - 3 - 2} \right|}}{{\sqrt {4 + 1 + 4} }} = 1 < R\) nên mặt cầu \(\left( S \right)\) cắt mặt phẳng \(\left( P \right)\) theo giao tuyến là một đường tròn.

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) lên \(\left( P \right)\) \( \Rightarrow \) H cố định (do I cố định).

\( \Rightarrow \) mặt cầu \(\left( S \right)\) cắt mặt phẳng \(\left( P \right)\) theo giao tuyến là một đường tròn tâm \(H\) bán kính \(r = \sqrt {\dfrac{{A{B^2}}}{4} - {d^2}} = \dfrac{{\sqrt 5 }}{2}\) (định lí Pytago).

Xét \(M \in \left( P \right)\) bất kì và nằm ngoài đường tròn \(\left( {H;r = \dfrac{{\sqrt 5 }}{2}} \right)\).

Gọi \(M' = IM \cap \left( S \right)\), ta có \(\angle AMB < \angle A'MB = {90^0}\).

\( \Rightarrow M \in \left( P \right)\) và nằm trong đường tròn \(\left( {H;r = \dfrac{{\sqrt 5 }}{2}} \right)\).

Ta có: \(\cot \angle AMB = \dfrac{{M{A^2} + M{B^2} - A{B^2}}}{{4{S_{AMB}}}},\,\,M{A^2} + M{B^2} = 2M{I^2} + \dfrac{{A{B^2}}}{2}\)

\( \Rightarrow \cot \angle AMB = \dfrac{{2M{I^2} - \dfrac{{A{B^2}}}{2}}}{{4{S_{AMB}}}}\)

Do \(d\left( {M;AB} \right) \ge HI \Rightarrow {S_{AMB}} \ge {S_{AHB}} = \dfrac{1}{2}.1.3 = \dfrac{3}{2}\), \(M{I^2} \ge H{I^2} = 1\) và \(\cot \angle AMB < 0\).

Nên để \(\angle AMB\) lớn nhất thì \(M \equiv H\)và \(\cot \angle AMB = \dfrac{{2 - \dfrac{9}{2}}}{{4.\dfrac{3}{2}}} = - \dfrac{5}{{12}} \Rightarrow \cos \angle AMB = - \dfrac{5}{{13}}\)

Xem lời giải Hỏi đáp / Thảo luận

Câu hỏi:538281

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.