Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = \left( {x + 3} \right)\left( {{x^2} - 2}
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = \left( {x + 3} \right)\left( {{x^2} - 2} \right)\,\,\forall x \in \mathbb{R}\). Tìm tất cả các giá trị thực không âm của tham số \(m\) để hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {\left| {\sin x + \sqrt 3 \cos x} \right| + m} \right)\) có nhiều điểm cực trị nhất trên \(\left[ { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{{11\pi }}{{12}}} \right]\).
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
Ta có \(f'\left( x \right) = \left( {x + 3} \right)\left( {{x^2} - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 3\\x = \pm \sqrt 2 \end{array} \right.\).
\(\begin{array}{l}g\left( x \right) = f\left( {\left| {\sin x + \sqrt 3 \cos x} \right| + m} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = f\left( {\left| {2\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right)} \right| + m} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = f\left( {\sqrt {{{\left[ {2\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right)} \right]}^2}} + m} \right)\\ \Rightarrow g'\left( x \right) = \left( {\sqrt {{{\left[ {2\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right)} \right]}^2}} + m} \right)'.f'\left( {\left| {2\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right)} \right| + m} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{2.2\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right).2\cos \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right)}}{{2\sqrt {{{\left[ {2\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right)} \right]}^2}} }}f'\left( {\left| {2\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right)} \right| + m} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{4\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right).\cos \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right)}}{{\sqrt {{{\left[ {2\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right)} \right]}^2}} }}f'\left( {\left| {2\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right)} \right| + m} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right) = 0\\f'\left( {\left| {2\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right)} \right| + m} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\\left| {2\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right)} \right| + m = - 3\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\\\left| {2\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right)} \right| + m = \sqrt 2 \,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\\\left| {2\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right)} \right| + m = - \sqrt 2 \,\,\,\left( 4 \right)\end{array} \right.\)
Xét hàm số \(u = \left| {2\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right)} \right|\) ta có BBT:
Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì các phương trình (1), (2), (3), (4) phải có nhiều nghiệm \(x \in \left[ { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{{11\pi }}{{12}}} \right]\) nhất, suy ra \(u = \left| {2\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right)} \right| \in \left( {0;1} \right)\).
Khi đó \(\left[ \begin{array}{l}0 < - m - 3 < 1\\0 < \sqrt 2 - m < 1\\0 < - \sqrt 2 - m < 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 4 < m < - 3\\\sqrt 2 - 1 < m < \sqrt 2 \\ - \sqrt 2 - 1 < m < - \sqrt 2 \end{array} \right.\).
Lại có \(m \ge 0\,\,\left( {gt} \right)\) nên \(m \in \left( {\sqrt 2 - 1;\sqrt 2 } \right)\).
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
