Cho các số thực \(a,\,\,b,\,\,c,\,\,d\) thỏa mãn điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}{\log _2}\left(
Cho các số thực \(a,\,\,b,\,\,c,\,\,d\) thỏa mãn điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}{\log _2}\left( {{a^2} + {b^2} + 5} \right) = 1 + {\log _2}\left( {2 - 2a - b} \right)\\{e^{4c + 5d - 10}} - {e^{c + d + 2}} = 12 - 3c - 4d\end{array} \right.\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \sqrt {{{\left( {a - c} \right)}^2} + {{\left( {b - d} \right)}^2}} \).
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Sử dụng phương pháp hình học.
ĐKXĐ: \(2 - 2a - b > 0 \Leftrightarrow 2a + b - 2 < 0\,\,\left( 1 \right)\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}{\log _2}\left( {{a^2} + {b^2} + 5} \right) = 1 + {\log _2}\left( {2 - 2a - b} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{a^2} + {b^2} + 5} \right) = {\log _2}\left( {4 - 4a - 2b} \right)\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + 5 = 4 - 4a - 2b\\ \Leftrightarrow {\left( {a + 2} \right)^2} + {\left( {b + 1} \right)^2} = 4\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)
Lại có \({a^2} + {b^2} + 5 = 4 - 4a - 2b \Leftrightarrow 2a + b - 2 = \dfrac{{ - {a^2} - {b^2} - 5}}{2} < 0\).
\( \Rightarrow \left( 1 \right)\) luôn đúng.
Ta có:
\(\begin{array}{l}{e^{4c + 5d - 10}} - {e^{c + d + 2}} = 12 - 3c - 4d\\ \Leftrightarrow {e^{4c + 5d - 10}} + 4c + 5d - 10 = {e^{c + d + 2}} + c + d + 2\end{array}\)
Xét hàm đặc trưng \(f\left( t \right) = {e^t} + t\) ta có \(f'\left( t \right) = {e^t} + 1 > 0\,\,\forall t\) nên hàm số luôn đồng biến trên \(\mathbb{R}\). Do đó \(4c + 5d - 10 = c + d + 2 \Leftrightarrow 3c + 4d - 12 = 0\,\,\left( {**} \right)\).
Gọi \(A\left( {a;b} \right),\,\,B\left( {c,d} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( {a - c} \right)}^2} + {{\left( {b - d} \right)}^2}} = P\).
Tọa độ điểm \(A\) thỏa mãn (*) nên tập hợp các điểm \(A\) là đường tròn \(\left( C \right)\) tâm \(I\left( { - 2; - 1} \right)\), bán kính \(R = 2\).
Tọa độ điểm \(B\) thỏa mãn (**) nên tập hợp các điểm \(B\) là đường thẳng \(\left( d \right):\,\,3x + 4y - 12 = 0\).
Khi đó \({P_{\min }} \Leftrightarrow A{B_{\min }} \Leftrightarrow \) \(A,\,\,B\) có vị trí như trong hình vẽ và \(A{B_{\min }} = d\left( {I;d} \right) - R = \dfrac{{\left| { - 6 - 4 - 12} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} - 2 = \dfrac{{12}}{5}\).
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
