Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị nguyên dương của \(m\) để hàm số \(y = {x^3} - 3\left( {2m + 1}

Câu hỏi số 539556:

Thông hiểu

Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị nguyên dương của \(m\) để hàm số \(y = {x^3} - 3\left( {2m + 1} \right){x^2} + \left( {12m + 5} \right)x + 2\) đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\). Số phần tử của \(S\) bằng:

A. \(1\)

B. \(2\)

C. \(3\)

D. \(0\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:539556

Phương pháp giải

+ Tìm TXĐ

+ Tính \(y'\)

+ Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow y' \ge 0,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\).

Giải chi tiết

+ TXĐ: \(D = \mathbb{R}\)

+ Ta có: \(y' = 3{x^2} - 6\left( {2m + 1} \right)x + 12m + 5\)

Hàm số đồng biến trong khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\) khi \(y' \ge 0,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\)

\( \Leftrightarrow 3{x^2} - 6\left( {2m + 1} \right)x + 12m + 5 \ge 0,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3{x^2} - 12mx - 6x + 12m + 5 \ge 0,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\\ \Leftrightarrow 12m\left( {x - 1} \right) \le 3{x^2} - 6x + 5,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\\ \Leftrightarrow m \le \dfrac{{3{x^2} - 6x + 5}}{{x - 1}},\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\end{array}\)

Xét hàm số \(g\left( x \right) = \dfrac{{3{x^2} - 6x + 5}}{{x - 1}}\) trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\)

Ta có: \(g'\left( x \right) = \dfrac{{3{x^2} - 6x + 1}}{{12{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} > 0\) với \(\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\)

Suy ra, hàm số \(g\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\)

Do đó, \(m \le g\left( x \right),\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow m \le g\left( 2 \right)\\ \Leftrightarrow m \le \dfrac{5}{{12}}\end{array}\)

Vậy không có giá trị nguyên dương nào của \(m\) thỏa mãn bài toán.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.