Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}2x + 3\,,x \ge 1\\3{x^2} + 2,\,x < 1\end{array}

Câu hỏi số 539730:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}2x + 3\,,x \ge 1\\3{x^2} + 2,\,x < 1\end{array} \right.\). Giả sử \(F\) là nguyên hàm của hàm số \(f\) trên \({\bf{R}}\) thỏa mãn \(F\left( 0 \right) = 2.\) Giá trị của \(F\left( { - 1} \right) + 2F\left( 2 \right)\) bằng:

A. \(23\)

B. \(11\)

C. \(10\)

D. \(21\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:539730

Phương pháp giải

Tính nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của \(f\left( x \right)\).

Từ giả thiết \(F\left( 0 \right) = 2\) ta tính được \({C_2}\)

Sử dụng tính chất liên tục của hàm số \(F\left( x \right)\): \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} F\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} F\left( x \right)\)

Giải chi tiết

Khi \(x \ge 1\) thì \(F\left( x \right) = {\int {f\left( x \right)dx = \int {\left( {2x + 3} \right)dx = {x^2} + 3x + C} } _1}\)

Khi \(x < 1\) thì \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx = \int {\left( {3{x^2} + 2} \right)dx} = {x^3} + 2x + {C_2}} \)

Theo giả thiết \(F\left( 0 \right) = 2 \Rightarrow {C_2} = 2\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = 5\) nên hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 1\).

Suy ra hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \({\bf{R}}\).

Do đó hàm số \(F\left( x \right)\) liên tục trên \({\bf{R}}\)\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} F\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} F\left( x \right) \Rightarrow {C_1} + 4 = {C_2} + 3 \Rightarrow {C_1} = 1\)

Vậy \(F\left( { - 1} \right) + 2F\left( 2 \right) = - 3 + {C_2} + 2\left( {10 + {C_1}} \right) = 21\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.