Cắt khối nón \(\left( N \right)\) bởi mặt phẳng đi qua đỉnh và tạo với mặt phẳng chứa đáy

Câu hỏi số 539870:

Vận dụng

Cắt khối nón \(\left( N \right)\) bởi mặt phẳng đi qua đỉnh và tạo với mặt phẳng chứa đáy một góc bằng \({60^0}\) ta được thiết diện là tam giác vuông cân cạnh huyền \(2a\). Thể tích của khối nón \(\left( N \right)\) bằng

A. \(\dfrac{{5\sqrt 3 \pi {a^3}}}{{24}}\)

B. \(\dfrac{{5\sqrt 3 \pi {a^3}}}{{72}}\)

C. \(\dfrac{{5\sqrt 3 \pi {a^3}}}{8}\)

D. \(\dfrac{{\sqrt 3 \pi {a^3}}}{{72}}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:539870

Phương pháp giải

- Dựng góc giữa mặt phẳng đi qua đỉnh và mặt phẳng đáy là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.

- Tính chiều cao, bán kính của đáy, sử dụng định lí Pytago, tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông.

- Thể tích của khối nón có bán kính đáy \(r\) và đường cao \(h\) là \(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h\).

Giải chi tiết

Xét khối nón \(\left( N \right)\) có đỉnh \(S\) và tâm đường tròn đáy là \(O\).

Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng đi qua đỉnh và tạo với mặt phẳng đáy góc \({60^0}\).

Khi đó thiết diện của hình nón khi cắt bởi mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là tam giác vuông cân \(SAB\) có cạnh huyền \(AB = 2a\).

Tam giác vuông cân \(SAB\) có cạnh huyền \(AB = 2a\) nên \(SA = SB = a\sqrt 2 \).

Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\). Khi đó \(OI \bot AB\).

Mà \(SO \bot AB\) nên \(\left( {SOI} \right) \bot AB\).

Hơn nữa \(\left( {SOI} \right) \cap \left( \alpha \right) = SI\), \(\left( {SOI} \right)\) giao với mặt đáy là \(OI\)

\( \Rightarrow \) Góc giữa mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và mặt đáy là \(\angle SIO = {60^0}\)

Ta có: \(I\) là trung điểm của \(AB\)\( \Rightarrow IA = IB = a\)

\( \Rightarrow SI = \sqrt {S{B^2} - I{B^2}} = \sqrt {2{a^2} - {a^2}} = a\)

\(\Delta SOI\) vuông tại \(O\) có \(\angle SIO = {60^0}\)\( \Rightarrow SO = SI.\sin {60^0} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Lại có: \(R = OB = \sqrt {S{B^2} - S{O^2}} = \sqrt {2{a^2} - \dfrac{{3{a^2}}}{4}} = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}\)

Thể tích của khối nón là \(V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}.SO = \dfrac{1}{3}\pi \dfrac{{5{a^2}}}{4}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{5\sqrt 3 \pi {a^3}}}{{24}}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.