Cho khối lăng trụ đều \(ABC.A'B'C'\) có cạnh đáy bằng \(2a\). Khoảng cách từ điểm \(A'\) đến
Cho khối lăng trụ đều \(ABC.A'B'C'\) có cạnh đáy bằng \(2a\). Khoảng cách từ điểm \(A'\) đến mặt phẳng \(\left( {AB'C'} \right)\) bằng \(a\). Thể tích của khối lăng trụ đã cho là
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
- Gọi \(F\) là trung điểm của \(B'C'\).
- Kẻ \(A'H \bot AF\) thì \(A'H\) chính là khoảng cách từ điểm \(A'\) đến mặt phẳng \(\left( {AB'C'} \right)\)
- Tính \(A'F\), sử dụng định lí Pytago tính \(HF\), sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tính \(AF\), tiếp tục sử dụng định lí Pytago tính \(AA'\).
- Tính \({V_{ABC.A'B'C'}} = AA'.{S_{\Delta ABC}}\).
Gọi \(F\) là trung điểm của \(B'C'\) \( \Rightarrow A'F \bot B'C'\) (1)
Dễ dàng chứng minh được \(\Delta AA'B' = \Delta AA'C'\) \( \Rightarrow AB' = AC'\).
Mà \(F\) là trung điểm của \(B'C'\) nên \(AF \bot B'C'\) (2)
Từ (1) và (2) ta có \(\left( {AA'F} \right) \bot B'C' \Rightarrow \left( {AA'F} \right) \bot \left( {AB'C'} \right) = AF\).
Trong \(\left( {AA'F} \right)\) kẻ \(A'H \bot AF\) \( \Rightarrow A'H \bot \left( {AB'C'} \right)\)
\( \Rightarrow d\left( {A';\left( {AB'C'} \right)} \right) = A'H = a\).
Tam giác \(A'B'C'\) đều cạnh \(2a\) \( \Rightarrow A'F = \dfrac{{2a.\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \).
Tam giác \(A'FH\) vuông tại \(H\) \( \Rightarrow HF = \sqrt {A'{F^2} - A'{H^2}} = \sqrt {3{a^2} - {a^2}} = a\sqrt 2 \)
Tam giác \(A'AF\) vuông tại \(A'\) có đường cao \(A'H\) \( \Rightarrow AF = \dfrac{{A'{F^2}}}{{HF}} = \dfrac{{3{a^2}}}{{a\sqrt 2 }} = \dfrac{{3a\sqrt 2 }}{2}\)
\( \Rightarrow AA' = \sqrt {A{F^2} - A'{F^2}} = \sqrt {\dfrac{{9{a^2}}}{2} - 3{a^2}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}\).
Vậy thể tích của khối lăng trụ là \(V = AA'.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}.\dfrac{{{{\left( {2a} \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{3\sqrt 2 {a^3}}}{2}\).
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
