Cho chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(2a\), tam giác \(SAC\) vuông cân tại \(S\) và

Câu hỏi số 539877:

Vận dụng

Cho chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(2a\), tam giác \(SAC\) vuông cân tại \(S\) và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách \(d\) giữa \(SC,\,\,AB\).

A. \(d = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}\)

B. \(d = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{3}\)

C. \(d = \dfrac{{2a\sqrt {21} }}{7}\)

D. \(d = \dfrac{{2a\sqrt {30} }}{5}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:539877

Phương pháp giải

- Dựng \(CD//AB,\,\,CD = AB\). Khi đó \(d\left( {SC,AB} \right) = d\left( {AB,\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right) = 2d\left( {H,\left( {SCD} \right)} \right)\)

Giải chi tiết

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AC\)

Do tam giác \(SAC\) vuông cân tại \(S\) nên \(SH \bot AC\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}SH \bot AC\\\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABC} \right)\\\left( {SAC} \right) \cap \left( {ABC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)\)

Kẻ \(CD//AB,\,\,CD = AB\)

Khi đó \(d\left( {AB,SC} \right) = d\left( {AB,\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right) = 2d\left( {H,\left( {SCD} \right)} \right)\) (do \(H\) là trung điểm của \(AC\))

Kẻ \(HF \bot CD,\,\,F \in CD\)

Mà \(SH \bot CD\,\,{\rm{(do}}\,\,{\rm{SH}} \bot \left( {ABCD} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {SHF} \right) \bot CD\\ \Rightarrow \left( {SHF} \right) \bot \left( {SCD} \right)\end{array}\)

Trong \(\left( {SHF} \right)\) kẻ \(HP \bot SF\,\, \Rightarrow HP \bot \left( {SCD} \right)\) \( \Rightarrow d\left( {H,\left( {SCD} \right)} \right) = HP\)

Ta có: tam giác \(SAC\) vuông cân tại \(S\) có trung tuyến \(SH\)

\( \Rightarrow SH = AH = HC = \dfrac{{AC}}{2} = \dfrac{{2a}}{2} = a\)

Tam giác \(HCF\) có \(\angle HCF = {60^0}\) \( \Rightarrow HF = HC\sin {60^0} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Tam giác \(SHF\) vuông tại \(H\) có đường cao \(HP\) \( \Rightarrow HP = \dfrac{{HF.HS}}{{\sqrt {H{F^2} + H{S^2}} }} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.a}}{{\sqrt {\dfrac{{3{a^2}}}{4} + {a^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{7}\)

Vậy khoảng cách \(d\) giữa \(SC,\,\,AB\) là \(\dfrac{{2a\sqrt {21} }}{7}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.