Cho khối tứ diện \(ABCD\) có \(\angle ADB = \angle CDB = {60^0},\) \(\angle ADC = {90^0},\) \(DA = DB = DC =
Cho khối tứ diện \(ABCD\) có \(\angle ADB = \angle CDB = {60^0},\) \(\angle ADC = {90^0},\) \(DA = DB = DC = a\). Gọi \({G_1},\,\,{G_2},\,\,{G_3},\,\,{G_4}\) là trọng tâm của bốn mặt của tứ diện \(ABCD\). Thể tích khối tứ diện \({G_1}{G_2}{G_3}{G_4}\) là
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
- Gọi \(H\) là trung điểm của \(AC\). Khi đó \(DH\) chính là đường cao của tứ diện
- Tính \(DH\) rồi suy ra thể tích của tứ diện
- Tính tỉ số thể tích của khối tứ diện \({G_1}{G_2}{G_3}{G_4}\) với khối tứ diện \(ABCD\)
- Tính thể tích của khối tứ diện \({G_1}{G_2}{G_3}{G_4}\)
Xét tứ diện \(ABCD\) trong hình 1
Tam giác \(DAB\) có \(\angle ADB = {60^0},\,\,DA = DB = a\) \( \Rightarrow \) Tam giác \(ADB\) đều \( \Rightarrow AB = a\)
Tương tự ta có: \(BC = a\)
Tam giác \(DAC\) có \(\angle ADC = {90^0},\,\,DA = DC = a\) \( \Rightarrow AC = a\sqrt 2 \)
Tam giác \(ABC\) có \(AB = BC = a,\,\,AC = a\sqrt 2 \) \( \Rightarrow \) Tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(B\)
Gọi \(H\) là trung điểm của \(AC\) \( \Rightarrow HA = HB = HC = HD = \dfrac{{AC}}{2} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\) (1)
Mặt khác \(DA = DB = DC\) (2)
Từ (1), (2) ta có: \(DH \bot \left( {ABC} \right)\)
\({V_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}{S_{ABC}}.DH = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}.{a^2}.\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\)
Xét tứ diện \(ABCD\) có các trọng tâm của các mặt như trong hình 2
Ta có: \(\left( {{G_1}{G_2}{G_3}} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) có điểm \({G_1}\) chung và \({G_2}{G_3}\parallel GF\parallel BC\) nên giao tuyến của hai mặt phẳng là \(HI\) đi qua \({G_1}\) và song song với \(BC\)
Tương tự ta chứng minh được: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {{G_1}{G_2}{G_3}} \right) \cap \left( {ABD} \right) = HJ//BD\\\left( {{G_1}{G_2}{G_3}} \right) \cap \left( {ACD} \right) = IJ//CD\end{array} \right.\)
Trong \(\left( {AED} \right)\) gọi \(A{G_4} \cap J{G_1} = K\,\, \Rightarrow \,\,A{G_4} \cap \left( {{G_1}{G_2}{G_3}} \right) = K\) \( \Rightarrow \dfrac{{d\left( {{G_4};\left( {{G_1}{G_2}{G_3}} \right)} \right)}}{{d\left( {A;\left( {{G_1}{G_2}{G_3}} \right)} \right)}} = \dfrac{{{G_4}K}}{{AK}}\)
Ta có: \(\dfrac{{A{G_1}}}{{AE}} = \dfrac{{AH}}{{AB}} = \dfrac{{AJ}}{{AD}} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow {G_1}J//ED \Rightarrow \dfrac{{{G_4}K}}{{AK}} = \dfrac{{E{G_1}}}{{A{G_1}}} = \dfrac{1}{2}\)
\( \Rightarrow {V_{{G_4}.{G_1}{G_2}{G_3}}} = \dfrac{1}{3}d\left( {{G_4};\left( {{G_1}{G_2}{G_3}} \right)} \right).{S_{{G_1}{G_2}{G_3}}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}d\left( {A;\left( {{G_1}{G_2}{G_3}} \right)} \right).{S_{{G_1}{G_2}{G_3}}} = \dfrac{1}{2}{V_{A.{G_1}{G_2}{G_3}}}\)
Dễ chứng minh được \(\Delta {G_1}{G_2}{G_3}\~\Delta JIH\) theo tỉ số \(k = \dfrac{1}{2}\) \( \Rightarrow {S_{{G_1}{G_2}{G_3}}} = \dfrac{1}{4}{S_{HIJ}}\,\, \Rightarrow {V_{A.{G_1}{G_2}{G_3}}} = \dfrac{1}{4}{V_{A.HIJ}}\)
\(\dfrac{{{V_{A.HIJ}}}}{{{V_{A.BCD}}}} = \dfrac{{AH}}{{AB}}.\dfrac{{AI}}{{AC}}.\dfrac{{AJ}}{{AD}} = {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^3} = \dfrac{8}{{27}}\)
\( \Rightarrow {V_{A.HIJ}} = \dfrac{8}{{27}}{V_{A.BCD}} & \)
\( \Rightarrow {V_{{G_4}.{G_1}{G_2}{G_3}}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{4}.\dfrac{8}{{27}} = \dfrac{1}{{27}}V\)
Vậy \({V_{{G_4}.{G_1}{G_2}{G_3}}} = \dfrac{1}{{27}}.\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{324}}\)
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
