Cho các số thực \(a,\,\,b \in \left( {1;3} \right]\) thỏa mãn \(a < b\). Biết giá trị nhỏ nhất

Câu hỏi số 539882:

Vận dụng cao

Cho các số thực \(a,\,\,b \in \left( {1;3} \right]\) thỏa mãn \(a < b\). Biết giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {\log _a}\left( {{b^2} + 9b - 9} \right) + 6\log _{\dfrac{b}{a}}^2a\) bằng \(9\sqrt[3]{{\dfrac{1}{m}}} + n\) với \(m,n\) là các số nguyên dương. Tính \(S = {m^2} + {n^2}\).

A. 13

B. 8

C. 20

D. 29

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:539882

Phương pháp giải

- Chứng minh \({b^2} + 9b - 9 \ge {b^3},\,\,\forall b \in \left( {1;3} \right]\)

- Dùng bất đẳng thức Cauchy

Giải chi tiết

Ta chứng minh \({b^2} + 9b - 9 \ge {b^3},\,\,\forall b \in \left( {1;3} \right]\) (1)

Ta có: \((1) \Leftrightarrow {b^3} - {b^2} - 9b + 9 \le 0 \Leftrightarrow \left( {{b^2} - 9} \right)\left( {b - 1} \right) \le 0\)

Đúng với mọi \(b \in \left( {1;3} \right]\)

Khi đó: \(P = {\log _a}\left( {{b^2} + 9b - 9} \right) + 6\log _{\dfrac{b}{a}}^2a \ge {\log _a}\left( {{b^3}} \right) + 6\log _{\dfrac{b}{a}}^2a\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow P \ge 3{\log _a}b + \dfrac{6}{{{{\left( {{{\log }_a}b - 1} \right)}^2}}}\\ \Rightarrow P \ge \dfrac{3}{2}\left( {{{\log }_a}b - 1} \right) + \dfrac{3}{2}\left( {{{\log }_a}b - 1} \right) + \dfrac{6}{{{{\left( {{{\log }_a}b - 1} \right)}^2}}} + 3\\ \Rightarrow P \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{3}{2}\left( {{{\log }_a}b - 1} \right).\dfrac{3}{2}\left( {{{\log }_a}b - 1} \right).\dfrac{6}{{{{\left( {{{\log }_a}b - 1} \right)}^2}}}}} + 3\,\,\\ \Rightarrow P \ge 9\sqrt[3]{{\dfrac{1}{2}}} + 3\end{array}\)

Dấu xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{3}{2}\left( {{{\log }_a}b - 1} \right) = \dfrac{6}{{{{\left( {{{\log }_a}b - 1} \right)}^2}}}\\{b^2} + 9b - 9 = {b^3}\\a,b \in \left( {1;3} \right]\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = {3^{\dfrac{1}{{\sqrt[3]{4} + 1}}}}\\b = 3\end{array} \right.\).

Vậy \(S = {m^2} + {n^2} = {2^2} + {3^2} = 13\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.