Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\). Hình chiếu của \(S\) trên mặt
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\). Hình chiếu của \(S\) trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là trung điểm \(H\) của cạnh \(BC\). Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(SAC\). Biết khoảng cách từ \(G\) đến mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) bằng \(\dfrac{{a\sqrt {13} }}{{13}}\). Tính thể tích khối chóp \(S.ABC\).
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
- Gọi \(D,\,\,E\) lần lượt là trung điểm của \(SC,\,\,SA\) \( \Rightarrow d\left( {G,\left( {SAB} \right)} \right) = \dfrac{2}{3}d\left( {D,\left( {SAB} \right)} \right) = \dfrac{2}{3}d\left( {H,\left( {SAB} \right)} \right)\)
- Từ đó tính được \(HS\)
- Tính thể tích khối chóp
Gọi \(D,\,\,E\) lần lượt là trung điểm của \(SC,\,\,SA\).
Vì \(G\) là trọng tâm của \(\Delta SAC\) nên \(\dfrac{{GA}}{{DA}} = \dfrac{2}{3}\)
\( \Rightarrow d\left( {G,\left( {SAB} \right)} \right) = \dfrac{2}{3}d\left( {D,\left( {SAB} \right)} \right)\) \( \Rightarrow d\left( {D,\left( {SAB} \right)} \right) = \dfrac{{3a\sqrt {13} }}{{26}}\).
Ta có:
\(D\) là trung điểm của \(SC\)
\(H\) là trung điểm của \(BC\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow DH//SB\\ \Rightarrow DH//\left( {SAB} \right)\\ \Rightarrow d\left( {D,\left( {SAB} \right)} \right) = d\left( {H,\left( {SAB} \right)} \right)\end{array}\)
Kẻ \(HF \bot AB\)
Mà \(SH \bot AB\) \( \Rightarrow \left( {SHF} \right) \bot AB\) \( \Rightarrow \left( {SHF} \right) \bot \left( {SAB} \right)\)
Trong \(\left( {SHF} \right)\) kẻ \(HP \bot \left( {SHF} \right)\) \( \Rightarrow HP \bot \left( {SAB} \right)\) \( \Rightarrow HP = d\left( {H,\left( {SAB} \right)} \right) = \dfrac{{3a\sqrt {13} }}{{26}}\)
Tam giác \(BHF\) vuông tại \(F\) có \(\angle HBF = {60^0}\) \( \Rightarrow HF = HB\sin {60^0} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\)
Đặt \(HS = x > 0\)
Ta có: \(HP.SF = HS.HF\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{3a\sqrt {13} }}{{26}}.\sqrt {{x^2} + \dfrac{{3{a^2}}}{{16}}} = x.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\\ \Leftrightarrow 3\left( {16{x^2} + 3{a^2}} \right) = 52{x^2}\\ \Leftrightarrow 9{a^2} = 4{x^2} \Leftrightarrow x = \dfrac{{3a}}{2}\end{array}\)
Vậy \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABC}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{3a}}{2}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}\).
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
