Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\). Hình chiếu của \(S\) trên mặt

Câu hỏi số 539883:

Vận dụng cao

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\). Hình chiếu của \(S\) trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là trung điểm \(H\) của cạnh \(BC\). Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(SAC\). Biết khoảng cách từ \(G\) đến mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) bằng \(\dfrac{{a\sqrt {13} }}{{13}}\). Tính thể tích khối chóp \(S.ABC\).

A. \(V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}\)

B. \(V = \dfrac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{8}\)

C. \(V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\)

D. \(V = \dfrac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{4}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:539883

Phương pháp giải

- Gọi \(D,\,\,E\) lần lượt là trung điểm của \(SC,\,\,SA\) \( \Rightarrow d\left( {G,\left( {SAB} \right)} \right) = \dfrac{2}{3}d\left( {D,\left( {SAB} \right)} \right) = \dfrac{2}{3}d\left( {H,\left( {SAB} \right)} \right)\)

- Từ đó tính được \(HS\)

- Tính thể tích khối chóp

Giải chi tiết

Gọi \(D,\,\,E\) lần lượt là trung điểm của \(SC,\,\,SA\).

Vì \(G\) là trọng tâm của \(\Delta SAC\) nên \(\dfrac{{GA}}{{DA}} = \dfrac{2}{3}\)

\( \Rightarrow d\left( {G,\left( {SAB} \right)} \right) = \dfrac{2}{3}d\left( {D,\left( {SAB} \right)} \right)\) \( \Rightarrow d\left( {D,\left( {SAB} \right)} \right) = \dfrac{{3a\sqrt {13} }}{{26}}\).

Ta có:

\(D\) là trung điểm của \(SC\)

\(H\) là trung điểm của \(BC\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow DH//SB\\ \Rightarrow DH//\left( {SAB} \right)\\ \Rightarrow d\left( {D,\left( {SAB} \right)} \right) = d\left( {H,\left( {SAB} \right)} \right)\end{array}\)

Kẻ \(HF \bot AB\)

Mà \(SH \bot AB\) \( \Rightarrow \left( {SHF} \right) \bot AB\) \( \Rightarrow \left( {SHF} \right) \bot \left( {SAB} \right)\)

Trong \(\left( {SHF} \right)\) kẻ \(HP \bot \left( {SHF} \right)\) \( \Rightarrow HP \bot \left( {SAB} \right)\) \( \Rightarrow HP = d\left( {H,\left( {SAB} \right)} \right) = \dfrac{{3a\sqrt {13} }}{{26}}\)

Tam giác \(BHF\) vuông tại \(F\) có \(\angle HBF = {60^0}\) \( \Rightarrow HF = HB\sin {60^0} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\)

Đặt \(HS = x > 0\)

Ta có: \(HP.SF = HS.HF\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{3a\sqrt {13} }}{{26}}.\sqrt {{x^2} + \dfrac{{3{a^2}}}{{16}}} = x.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\\ \Leftrightarrow 3\left( {16{x^2} + 3{a^2}} \right) = 52{x^2}\\ \Leftrightarrow 9{a^2} = 4{x^2} \Leftrightarrow x = \dfrac{{3a}}{2}\end{array}\)

Vậy \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABC}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{3a}}{2}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.