Cho nửa đường tròn đường kính \(AB = 4\left( {cm} \right)\), điểm \(M\) di động trên nửa đường

Câu hỏi số 539884:

Vận dụng cao

Cho nửa đường tròn đường kính \(AB = 4\left( {cm} \right)\), điểm \(M\) di động trên nửa đường tròn đó. Gọi \(d\) là tiếp tuyến với nửa đường tròn tại \(M\), \(d\) cắt các tiếp tuyến của nửa đường tròn tại \(A,\,\,B\) lần lượt tại \(D,\,\,C\). Khi quay tứ giác \(ABCD\) quanh trục \(AB\) ta được một vật thể tròn xoay có thể tích nhỏ nhất là

A. \(16\pi c{m^3}\)

B. \(\dfrac{{16\pi }}{3}c{m^3}\)

C. \(32\pi c{m^3}\)

D. \(\dfrac{{32\pi }}{3}c{m^3}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:539884

Phương pháp giải

- Đặt \(\angle BOC = \alpha \)

- Tính \(BC,\,\,\,AD\) theo \(\tan \alpha \)

- Áp dụng công thức tính thể tích nón cụt có bán kính đáy lớn, bán kính đáy nhỏ, chiều cao lần lượt là \(R,\,\,r,\,\,h\) là
\(V = \dfrac{{\pi h\left( {{R^2} + Rr + {r^2}} \right)}}{3}\)

- Bất đẳng thức Cauchy với 2 số thực dương \(a,\,\,b\) ta có: \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \)

Giải chi tiết

Gọi \(O\) là tâm của nửa đường tròn

Ta có: \(CD\) là tiếp tuyến tại \(M\) của nửa đường tròn \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\angle BOM = 2\angle BOC\\\angle AOM = 2\angle DOA\end{array} \right.\)

Mà \(\angle BOM + \angle AOM = {180^0}\) \( \Rightarrow \angle BOC + \angle DOA = {90^0}\)

Đặt \(\angle BOC = \alpha \) \( \Rightarrow BC = OB\tan \alpha = 2\tan \alpha \).

Ta có: \(DA = OA\tan \angle DOA = 2\cot \alpha \)

Từ đó ta được

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,A{D^2} + AD.BC + B{C^2} = 4{\cot ^2}\alpha + 4\tan \alpha .\cot \alpha + 4{\tan ^2}\alpha \\ \Rightarrow A{D^2} + AD.BC + B{C^2} = 4{\cot ^2}\alpha + 4{\tan ^2}\alpha + 4\end{array}\)

Ta có: \(4{\cot ^2}\alpha + 4{\tan ^2}\alpha \ge 4.2\sqrt {{{\cot }^2}\alpha .{{\tan }^2}\alpha } = 8\) \( \Rightarrow A{D^2} + AD.BC + B{C^2} \ge 12\).

Gọi thể tích của khối tròn xoay thu được là \(V\) ta có: \(V = \dfrac{{\pi .AB.\left( {A{D^2} + AD.BC + B{C^2}} \right)}}{3} \ge \dfrac{{\pi .4.12}}{3} = 16\pi \left( {c{m^3}} \right)\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.