Cho hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) cạnh đáy bằng \(2a\) và chiều cao bằng \(a\sqrt 3 \). Tính khoảng cách từ tâm \(O\) của đáy \(ABC\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\)

Câu 540342: Cho hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) cạnh đáy bằng \(2a\) và chiều cao bằng \(a\sqrt 3 \). Tính khoảng cách từ tâm \(O\) của đáy \(ABC\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\)

A. \(a\sqrt {\dfrac{3}{{10}}} \).

B. \(\dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}\) .

C. \(\dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}\).

D. \(a\sqrt {\dfrac{2}{5}} \).

Câu hỏi : 540342

Phương pháp giải:

Tam giác đều có tâm trùng với trọng tâm tam giác.

Vì \(S.ABC\) là hình chóp tam giác đều nên \(SO \bot \left( {ABC} \right)\).

Sau đó, xác định hình chiếu vuông góc của điểm \(O\) lên \(\left( {SBC} \right)\) gọi là \(K \Rightarrow d\left( {O;\,\,\left( {SBC} \right)} \right) = OK\).

Đáp án : A
(4) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Gọi \(E\) là trung điểm \(BC \Rightarrow AE \bot BC\,\,\,\left( 1 \right)\).
Vì \(S.ABC\) là hình chóp tam giác đều nên \(SO \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SO \bot BC\,\,\,\,\left( 2 \right)\).
Từ \(\left( 1 \right);\,\,\left( 2 \right)\,\, \Rightarrow BC \bot \left( {SAE} \right)\).
Trong \(\left( {SAE} \right)\) kẻ \(OK \bot SE \Rightarrow OK \bot \left( {SBC} \right)\).
Khoảng cách từ tâm \(O\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) là \(OK\).
\(\begin{array}{l}AE = \,\dfrac{{2a.\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 ;\,\,OE = \,\dfrac{1}{3}AE = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\\\dfrac{1}{{O{K^2}}} = \dfrac{1}{{S{O^2}}} + \dfrac{1}{{O{E^2}}} = \dfrac{1}{{3{a^2}}} + \dfrac{3}{{{a^2}}} = \dfrac{{10}}{{3{a^2}}} \Rightarrow OK = a\sqrt {\dfrac{3}{{10}}} \end{array}\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.