Cho hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) cạnh đáy bằng \(2a\) và chiều cao bằng \(a\sqrt 3 \). Tính

Câu hỏi số 540342:

Thông hiểu

Cho hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) cạnh đáy bằng \(2a\) và chiều cao bằng \(a\sqrt 3 \). Tính khoảng cách từ tâm \(O\) của đáy \(ABC\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\)

A. \(a\sqrt {\dfrac{3}{{10}}} \).

B. \(\dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}\) .

C. \(\dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}\).

D. \(a\sqrt {\dfrac{2}{5}} \).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:540342

Phương pháp giải

Tam giác đều có tâm trùng với trọng tâm tam giác.

Vì \(S.ABC\) là hình chóp tam giác đều nên \(SO \bot \left( {ABC} \right)\).

Sau đó, xác định hình chiếu vuông góc của điểm \(O\) lên \(\left( {SBC} \right)\) gọi là \(K \Rightarrow d\left( {O;\,\,\left( {SBC} \right)} \right) = OK\).

Giải chi tiết

Gọi \(E\) là trung điểm \(BC \Rightarrow AE \bot BC\,\,\,\left( 1 \right)\).

Vì \(S.ABC\) là hình chóp tam giác đều nên \(SO \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SO \bot BC\,\,\,\,\left( 2 \right)\).

Từ \(\left( 1 \right);\,\,\left( 2 \right)\,\, \Rightarrow BC \bot \left( {SAE} \right)\).

Trong \(\left( {SAE} \right)\) kẻ \(OK \bot SE \Rightarrow OK \bot \left( {SBC} \right)\).

Khoảng cách từ tâm \(O\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) là \(OK\).

\(\begin{array}{l}AE = \,\dfrac{{2a.\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 ;\,\,OE = \,\dfrac{1}{3}AE = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\\\dfrac{1}{{O{K^2}}} = \dfrac{1}{{S{O^2}}} + \dfrac{1}{{O{E^2}}} = \dfrac{1}{{3{a^2}}} + \dfrac{3}{{{a^2}}} = \dfrac{{10}}{{3{a^2}}} \Rightarrow OK = a\sqrt {\dfrac{3}{{10}}} \end{array}\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.