Đánh giá năng lực Hà Nội
Đánh giá năng lực Hà Nội
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và đường cao BE. Gọi H và K lần lượt là chân các đường vuông
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và đường cao BE. Gọi H và K lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ điểm E đến các đường thẳng AB và BC.
Trả lời cho các câu 540445, 540446, 540447 dưới đây:
Chứng minh tứ giác BHEK là tứ giác nội tiếp.
Ta có:
\(\angle BHE = {90^0}\) (do \(EH \bot AB\))
\(\angle BKE = {90^0}\) (do \(EK \bot BC\))
Tứ giác \(BHEK\) có \(\angle BHE + \angle BKE = {90^0} + {90^0} = {180^0}\) nên là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\)) (đpcm)
Chứng minh \(BH.BA = BK.BC\).
Theo câu a) tứ giác \(BHEK\) nội tiếp nên \(\angle BKH = \angle BEH\) (cùng chắn cung \(BH\))
Ta có:
\(\angle BEH + \angle EBH = {90^0}\) (do tam giác \(BHE\) vuông tại \(H\)).
\(\angle BAE + \angle EBH = {90^0}\) (do tam giác \(ABE\) vuông tại \(E\)).
Nên \(\angle BEH = \angle BAE\) (cùng phụ với \(\angle EBH\)).
Mà \(\angle BKH = \angle BEH\) (cmt) nên \(\angle BKH = \angle BAE\,\,\,\left( { = \angle BEH} \right)\).
Xét \(\Delta BHK\) và \(\Delta BCA\) có:
\(\angle ABC\) chung
\(\angle BKH = \angle BAE = \angle BAC\) (cmt)
\( \Rightarrow \Delta BHK \sim \Delta BCA\,\,\left( {g.g} \right)\)
\( \Rightarrow \dfrac{{BH}}{{BC}} = \dfrac{{BK}}{{BA}}\) (hai cạnh tương ứng)
\( \Rightarrow BH.BA = BK.BC\) (đpcm).
Gọi F là chân đường vuông góc kẻ từ điểm C đến đường thẳng AB và I là trung điểm của đoạn thẳng EF. Chứng minh ba điểm H, I, K là ba điểm thẳng hàng.
Cách 1:
Nối \(H\) và \(K.\)
Xét \(\Delta BHK\) và \(\Delta BCA\) ta có:
\(\begin{array}{l}\angle ABC\,\,\,\,chung\\\dfrac{{BH}}{{BC}} = \dfrac{{BK}}{{BA}}\,\,\,\left( {do\,\,\,BA.BA = BK.BC} \right)\\ \Rightarrow \Delta BHK \sim \Delta BCA\,\,\,\,\left( {c - g - c} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow \angle BHK \sim \angle BCA\) (hai góc tương ứng) (1)
Xét tứ giác \(BFEC\) ta có:
\(\angle BFC = \angle BEC = {90^0}\)
Mà \(F,\,\,E\) là hai đỉnh kề nhau
\( \Rightarrow BFEC\) là tứ giác nội tiếp (dhnb).
\( \Rightarrow \angle BCE + \angle BFE = {180^0}\) (tính chất tứ giác nội tiếp).
Mà \(\angle AFE + \angle BFE = {180^0}\) (2 góc kề bù)
\( \Rightarrow \angle BCE = \angle AFE\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) ta có: \(\angle BHK = \angle HFI.\)
Ta có: \(\Delta FHE\) vuông tại \(H\) có \(HI\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền
\( \Rightarrow HI = \dfrac{1}{2}EF\) (tính chất đường trung tuyến ừng với cạnh huyền).
\( \Leftrightarrow HI = FI\)
\( \Rightarrow \Delta HIF\) cân tại \(I\) (dhnb \(\Delta \) cân)
\( \Rightarrow \angle FHI = \angle HFI\) (tính chất \(\Delta \) cân)
Mà \(\angle HFI = \angle BHK\)
\( \Rightarrow \angle FHI = \angle BHK\) \( \Rightarrow HI \equiv HK\)
\( \Rightarrow H,\,\,I,\,\,K\) thẳng hàng.
Cách 2:
Gọi \(I'\) là giao điểm của HK và EF.
Xét tứ giác \(BFEC\) có: \(\angle BFC = \angle BEC = {90^0}\,\,\left( {gt} \right)\) nên là tứ giác nội tiếp (tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn 1 cạnh các góc bằng nhau).
\( \Rightarrow \angle {B_1} = \angle {F_1}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(EC\)).
Ta có: \(EH//CF\) (cùng vuông góc \(AB\))
\( \Rightarrow \angle {F_1} = \angle {E_1}\) (so le trong)
Do đó \(\angle {B_1} = \angle {E_1}\) (1).
Theo câu a, tứ giác \(BHEK\) nội tiếp nên \(\angle {B_1} = \angle {H_1}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(EK\)) (2).
Từ (1) và (2) suy ra \(\angle {H_1} = \angle {E_1}\)
Tam giác \(I'HE\) có \(\angle {H_1} = \angle {E_1}\) nên là tam giác cân (định nghĩa).
\( \Rightarrow I'H = I'E\) (tính chất tam giác cân) (3)
Lại có:
\(\angle {H_1} + \angle {H_2} = \angle BHE = {90^0}\)
\(\angle {F_2} + \angle {E_1} = {90^0}\) (do tam giác \(HEF\) vuông tại \(H\)).
Nên \(\angle {H_2} = \angle {F_2}\) hay tam giác \(I'HF\) cân tại \(I'\) (định nghĩa).
\( \Rightarrow I'H = I'F\) (tính chất tam giác cân) (4)
Từ (3) và (4) suy ra \(I'E = I'F\) hay \(I'\) là trung điểm của \(EF\).
Do đó \(I' \equiv I\) nên ba điểm \(H,I,K\) thẳng hàng (đpcm).
Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí
>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
