Đánh giá năng lực Hà Nội
Đánh giá năng lực Hà Nội
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và đường cao BE. Gọi H và K lần lượt là chân các đường vuông
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và đường cao BE. Gọi H và K lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ điểm E đến các đường thẳng AB và BC.
Trả lời cho các câu 540445, 540446, 540447 dưới đây:
Chứng minh tứ giác BHEK là tứ giác nội tiếp.
Ta có:
\(\angle BHE = {90^0}\) (do \(EH \bot AB\))
\(\angle BKE = {90^0}\) (do \(EK \bot BC\))
Tứ giác \(BHEK\) có \(\angle BHE + \angle BKE = {90^0} + {90^0} = {180^0}\) nên là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\)) (đpcm)
Chứng minh \(BH.BA = BK.BC\).
Theo câu a) tứ giác \(BHEK\) nội tiếp nên \(\angle BKH = \angle BEH\) (cùng chắn cung \(BH\))
Ta có:
\(\angle BEH + \angle EBH = {90^0}\) (do tam giác \(BHE\) vuông tại \(H\)).
\(\angle BAE + \angle EBH = {90^0}\) (do tam giác \(ABE\) vuông tại \(E\)).
Nên \(\angle BEH = \angle BAE\) (cùng phụ với \(\angle EBH\)).
Mà \(\angle BKH = \angle BEH\) (cmt) nên \(\angle BKH = \angle BAE\,\,\,\left( { = \angle BEH} \right)\).
Xét \(\Delta BHK\) và \(\Delta BCA\) có:
\(\angle ABC\) chung
\(\angle BKH = \angle BAE = \angle BAC\) (cmt)
\( \Rightarrow \Delta BHK \sim \Delta BCA\,\,\left( {g.g} \right)\)
\( \Rightarrow \dfrac{{BH}}{{BC}} = \dfrac{{BK}}{{BA}}\) (hai cạnh tương ứng)
\( \Rightarrow BH.BA = BK.BC\) (đpcm).
Gọi F là chân đường vuông góc kẻ từ điểm C đến đường thẳng AB và I là trung điểm của đoạn thẳng EF. Chứng minh ba điểm H, I, K là ba điểm thẳng hàng.
Cách 1:
Nối \(H\) và \(K.\)
Xét \(\Delta BHK\) và \(\Delta BCA\) ta có:
\(\begin{array}{l}\angle ABC\,\,\,\,chung\\\dfrac{{BH}}{{BC}} = \dfrac{{BK}}{{BA}}\,\,\,\left( {do\,\,\,BA.BA = BK.BC} \right)\\ \Rightarrow \Delta BHK \sim \Delta BCA\,\,\,\,\left( {c - g - c} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow \angle BHK \sim \angle BCA\) (hai góc tương ứng) (1)
Xét tứ giác \(BFEC\) ta có:
\(\angle BFC = \angle BEC = {90^0}\)
Mà \(F,\,\,E\) là hai đỉnh kề nhau
\( \Rightarrow BFEC\) là tứ giác nội tiếp (dhnb).
\( \Rightarrow \angle BCE + \angle BFE = {180^0}\) (tính chất tứ giác nội tiếp).
Mà \(\angle AFE + \angle BFE = {180^0}\) (2 góc kề bù)
\( \Rightarrow \angle BCE = \angle AFE\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) ta có: \(\angle BHK = \angle HFI.\)
Ta có: \(\Delta FHE\) vuông tại \(H\) có \(HI\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền
\( \Rightarrow HI = \dfrac{1}{2}EF\) (tính chất đường trung tuyến ừng với cạnh huyền).
\( \Leftrightarrow HI = FI\)
\( \Rightarrow \Delta HIF\) cân tại \(I\) (dhnb \(\Delta \) cân)
\( \Rightarrow \angle FHI = \angle HFI\) (tính chất \(\Delta \) cân)
Mà \(\angle HFI = \angle BHK\)
\( \Rightarrow \angle FHI = \angle BHK\) \( \Rightarrow HI \equiv HK\)
\( \Rightarrow H,\,\,I,\,\,K\) thẳng hàng.
Cách 2:
Gọi \(I'\) là giao điểm của HK và EF.
Xét tứ giác \(BFEC\) có: \(\angle BFC = \angle BEC = {90^0}\,\,\left( {gt} \right)\) nên là tứ giác nội tiếp (tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn 1 cạnh các góc bằng nhau).
\( \Rightarrow \angle {B_1} = \angle {F_1}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(EC\)).
Ta có: \(EH//CF\) (cùng vuông góc \(AB\))
\( \Rightarrow \angle {F_1} = \angle {E_1}\) (so le trong)
Do đó \(\angle {B_1} = \angle {E_1}\) (1).
Theo câu a, tứ giác \(BHEK\) nội tiếp nên \(\angle {B_1} = \angle {H_1}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(EK\)) (2).
Từ (1) và (2) suy ra \(\angle {H_1} = \angle {E_1}\)
Tam giác \(I'HE\) có \(\angle {H_1} = \angle {E_1}\) nên là tam giác cân (định nghĩa).
\( \Rightarrow I'H = I'E\) (tính chất tam giác cân) (3)
Lại có:
\(\angle {H_1} + \angle {H_2} = \angle BHE = {90^0}\)
\(\angle {F_2} + \angle {E_1} = {90^0}\) (do tam giác \(HEF\) vuông tại \(H\)).
Nên \(\angle {H_2} = \angle {F_2}\) hay tam giác \(I'HF\) cân tại \(I'\) (định nghĩa).
\( \Rightarrow I'H = I'F\) (tính chất tam giác cân) (4)
Từ (3) và (4) suy ra \(I'E = I'F\) hay \(I'\) là trung điểm của \(EF\).
Do đó \(I' \equiv I\) nên ba điểm \(H,I,K\) thẳng hàng (đpcm).
Quảng cáo
Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí
>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
