Giải phương trình \(\sqrt x + \sqrt {3x - 2} = {x^2} + 1\)

Câu hỏi số 540449:

Vận dụng

A. \(x = 0\)

B. \(x = 1\)

C. \(x =- 1\)

D. \(x =2\)

Đáp án đúng là: B

Giải chi tiết

Cách 1:

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x \le 0\\3x - 2 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge \dfrac{2}{3}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x.1} \le \dfrac{{x + 1}}{2}\\\sqrt {\left( {3x - 2} \right).1} \le \dfrac{{\left( {3x - 2} \right) + 1}}{2}\end{array} \right. \Rightarrow \sqrt x + \sqrt {3x - 2} \le 2x\,\,\,\left( * \right)\)

\({x^2} + 1 \ge 2\sqrt {{x^2}} = 2x\,\,\,\left( {do\,\,x \ge 0} \right)\,\,\,\,\left( {**} \right)\)

Từ (*) và (**) ta có: \(\sqrt x + \sqrt {3x - 2} = {x^2} + 1\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\3x - 2 = 1\\{x^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1\,\,\,\left( {tm} \right)\)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x = 1.\)

Cách 2:

Điều kiện: \(x \ge \dfrac{2}{3}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\sqrt x + \sqrt {3x - 2} = {x^2} + 1\\ \Leftrightarrow 2\sqrt x + 2\sqrt {3x - 2} = 2{x^2} + 2\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 2\sqrt x - 2\sqrt {3x - 2} + 2 = 0\\ \Leftrightarrow 2\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + 4x - 2\sqrt x - 2\sqrt {3x - 2} = 0\\ \Leftrightarrow 2{\left( {x - 1} \right)^2} + \left( {x - 2\sqrt x + 1} \right) + \left( {3x - 2 - 2\sqrt {3x - 2} + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 2{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {\sqrt x - 1} \right)^2} + {\left( {\sqrt {3x - 2} - 1} \right)^2} = 0\end{array}\)

Vì \({\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0;{\left( {\sqrt x - 1} \right)^2} \ge 0\) và \({\left( {\sqrt {3x - 2} - 1} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x \ge \dfrac{2}{3}\) nên

\(\begin{array}{l}2{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {\sqrt x - 1} \right)^2} + {\left( {\sqrt {3x - 2} - 1} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\\sqrt x - 1 = 0\\\sqrt {3x - 2} - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\x = 1\\\sqrt {3x - 2} = 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\3x - 2 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

Vậy \(x = 1\) là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.

Xem lời giải

Câu hỏi:540449

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.