Cho \(\left( {O;R} \right)\) với dây \(BC\) cố định không đi qua \(O.A\) là điểm chính giữa cung

Câu hỏi số 540662:

Vận dụng

Cho \(\left( {O;R} \right)\) với dây \(BC\) cố định không đi qua \(O.A\) là điểm chính giữa cung \(BC\) nhỏ. Điểm \(E\) thuộc cung \(BC\) lớn. \(AE\) cắt dây \(BC\) tại \(D\). Gọi \(I\) là trung điểm dây \(BC\). Kẻ \(CH \bot AE\) tại \(H\). Đường thẳng \(BE\) cắt \(CH\) tại \(M\).

a) Chứng minh bốn điểm \(A,I,H,C\) cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh \(AD.AE = A{B^2}\).

c) Cho \(BC = R\sqrt 3 \) . Tinh \(AC\).

d) Tìm vị trí của \(E\) để diện tích tam giác \(MAC\) lớn nhất.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:540662

Giải chi tiết

a) Xét \(\left( O \right):cungAB = cungAC\)(do \(A\) là điểm chính giữa \(cungBC\))

\( \Rightarrow AB = AC\) (liên hệ giữa cũng và dây)

\( \Rightarrow \Delta ABC\) cân tại \(A\) (dhnb tam giác cân)

Mà \(AI\) là trung tuyến (\(I\) là trung điểm của \(BC\))

\( \Rightarrow AI \bot BA\) (t/c tam giác cân)

\( \Rightarrow \angle AIC = {90^0}\). Mà \(\angle AHC = {90^0}\left( {CH \bot AE} \right)\)

\( \Rightarrow \angle AIC = \angle AHC\)

Xét tứ giác \(AIHC:\angle AIC = \angle AHC = {90^0}\left( {cmt} \right)\)

Mà \(I,H\) là hai đỉnh kề nhau

\( \Rightarrow \) Tứ giác \(AIHC\) là tứ giác nội tiếp (dhnb tứ giác nội tiếp)

\( \Rightarrow A,I,H,C\) cùng thuộc một đường tròn.

b) Xét \(\left( O \right):cungAB = cungAC(A\) là điểm chính giữa \(cungBC)\)

\( \Rightarrow \angle ABC = \angle AEB\) (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)

Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta AEB\) có:

\(\left. \begin{array}{l}\angle BAE\,\,chung\\\angle ABD = \angle AEB\left( {cmt} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta ABD \sim \Delta AEB\left( {g.g} \right)\)

\( \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{AE}} = \dfrac{{AD}}{{AB}}\) (đ.n hai tam giác đồng dạng)

\( \Leftrightarrow AD.AE = A{D^2}\) (đpcm)

c) Xét \(\left( O \right):I\) là trung điểm của \(BC\left( {gt} \right)\)\( \Rightarrow OI \bot BC\) (quan hệ đường kính vuông góc với dây)

Mà \(IA \bot BC\left( {cmt} \right)\)

\( \Rightarrow OI \equiv IA\)

\( \Rightarrow O,I,A\) thẳng hàng

Xét \(\Delta OIC\) vuông tại \(I:\sin \angle IOC = \dfrac{{IC}}{{OC}} = \dfrac{{\dfrac{{R\sqrt 3 }}{2}}}{R} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)\( \Rightarrow \angle IOC = {60^0}\)

Xét \(\Delta AOC:OA = OC = R \Rightarrow \Delta AOC\) cân tại \(O\) (dhnb tam giác cân)

Mà \(\angle AOC = {60^0}\left( {cmt} \right)\)

\( \Rightarrow \Delta AOC\) đều (dhnb tam giác đều)

\( \Rightarrow AC = OA = OC = R\)

Vậy \(AC = R\).

d) \(\Delta MEC\) cân tại \(E\)\( \Rightarrow EA\) là trung trực của \(MC\)

\( \Rightarrow AM = AC\)

\( \Rightarrow \Delta AMC\) cân tại \(A\)

Kẻ \(MK \bot AC\)\( \Rightarrow {S_{AMC}} = \dfrac{1}{2}MK.AC\)

\(MK \le MA\) (quan hệ đường vuông góc, đường xiên)

\( \Rightarrow M{K_{\max }} = MA = AC \Leftrightarrow K \equiv A\)

\( \Rightarrow \Delta MAC\) vuông cân tại \(A\)

\( \Rightarrow \Delta AHC\) vuông cân tại \(H\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle EAC = {45^0} \Leftrightarrow \angle EOC = {90^0}\\ \Leftrightarrow OE \bot OC\end{array}\)

Vậy \({S_{AMC}}\max = \dfrac{1}{2}A{C^2} \Leftrightarrow E \in \left( O \right)\,\,tm:OE \bot OC\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link