Cho tam giác \(ABC\) có \(I\) là giao điểm của ba đường giác. Đường thẳng qua \(I\) cắt các

Câu hỏi số 540967:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) có \(I\) là giao điểm của ba đường giác. Đường thẳng qua \(I\) cắt các đường thẳng \(BC,AC,AB\) lần lượt tại \(D,E,F\) sao cho \(D,E\) nằm cùng phía đối với điểm \(I\). Chứng minh rằng: \(\dfrac{{BC}}{{ID}} + \dfrac{{AC}}{{IE}} = \dfrac{{AB}}{{IF}}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:540967

Phương pháp giải

Vận dụng tính chất đường phân giác trong tam giác (góc trong và góc ngoài của tam giác).

Giải chi tiết

Xét \(\Delta BFD\) có \(BI\) là phân giác của \(\angle FBD\)\( \Rightarrow \dfrac{{BD}}{{ID}} = \dfrac{{BF}}{{IF}}\) (tính chất đường phân giác trong tam giác)

Xét \(\Delta CDE\) có \(CI\) là tia phân giác của góc ngoài tại đỉnh \(C \Rightarrow \dfrac{{CE}}{{CI}} = \dfrac{{CD}}{{ID}}\) (tính chất đường phân giác của góc ngoài trong tam giác)

Xét \(\Delta AEF\) có \(AI\) là đường phân giác của \(\angle FAE \Rightarrow \dfrac{{AF}}{{IF}} = \dfrac{{AE}}{{IE}}\) (tính chất đường phân giác trong tam giác)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{BC}}{{ID}} = \dfrac{{BD - CD}}{{ID}} = \dfrac{{BD}}{{ID}} - \dfrac{{CD}}{{ID}} = \dfrac{{BF}}{{IF}} - \dfrac{{CE}}{{IE}}\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\\dfrac{{AC}}{{IE}} = \dfrac{{AE + EC}}{{IE}} = \dfrac{{AE}}{{IE}} + \dfrac{{EC}}{{IE}} = \dfrac{{AF}}{{IF}} + \dfrac{{EC}}{{IE}}\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Cộng từng vế của (1) và (2), ta được: \(\dfrac{{BC}}{{ID}} + \dfrac{{AC}}{{IE}} = \dfrac{{BF}}{{IF}} + \dfrac{{AF}}{{IF}} = \dfrac{{AB}}{{IF}}\) (đpcm)

Tham Gia Group Dành Cho Lớp 8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link