Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = c,BC = a,CA = b\). Gọi \(x,y,z\) là độ dài các đường phân giác trong
Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = c,BC = a,CA = b\). Gọi \(x,y,z\) là độ dài các đường phân giác trong của tam giác \(ABC\). Chứng minh rằng: \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} > \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}\).
Quảng cáo
Giả sử phân giác hạ từ đỉnh \(A\) của tam giác là \(AD\) và \(AD = x\)
Gọi \(E\) là giao điểm của đường thẳng qua \(B\) song song với \(AD\) và đường thẳng \(AC\).
Ta sẽ chứng minh: \(\dfrac{1}{x} > \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right)\) (1)
Giả sử đường phân giác hạ từ đỉnh \(B\) của tam giác là \(BH\) và \(BH = y\); đường phân giác hạ từ đỉnh \(C\) của tam giác là \(CK\) và \(CK = z\).
Chứng minh tương tự, ta có: \(\dfrac{1}{y} > \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{c}} \right)\) (2) và \(\dfrac{1}{z} > \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}} \right)\) (3)
Từ (1), (2) và (3), ta có điều phải chứng minh.
Giả sử phân giác hạ từ đỉnh \(A\) của tam giác là \(AD\) và \(AD = x\)
Gọi \(E\) là giao điểm của đường thẳng qua \(B\) song song với \(AD\) và đường thẳng \(AC\).
Ta có: \(BE//AD\) (cách dựng) \( \Rightarrow \angle ABE = \angle BAD\) (hai góc so le trong) và \(\angle BEA = \angle DAC\) (hai góc đồng vị)
Vì \(\angle BAD = \angle DAC\) (do \(AD\) là phân giác của \(\angle BAC\)) nên \(\angle BAE = \angle BEA\)
\( \Rightarrow \Delta ABE\) cân tại \(A\)
\( \Rightarrow AB = AE = c\)
\(\Delta BCE\) có \(AD//BE\) nên ta có: \(\dfrac{{AD}}{{BE}} = \dfrac{{AC}}{{EC}}\) (định lý Ta – lét)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{AD}}{{EB}} = \dfrac{{AC}}{{AC + AE}} = \dfrac{b}{{b + c}}\\ \Rightarrow AD = \dfrac{b}{{b + c}}.EB\end{array}\)
Vì \(BE < AE + AB = 2c\) nên \(x < \dfrac{{2bc}}{{b + c}}\)\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{x} > \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right)\) (1)
Giả sử đường phân giác hạ từ đỉnh \(B\) của tam giác là \(BH\) và \(BH = y\); đường phân giác hạ từ đỉnh \(C\) của tam giác là \(CK\) và \(CK = z\).
Chứng minh tương tự, ta có: \(\dfrac{1}{y} > \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{c}} \right)\) (2) và \(\dfrac{1}{z} > \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}} \right)\) (3)
Từ (1), (2) và (3), suy ra \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} > \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}\) (đpcm)
Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
