Cho tam giác \(ABC\) với đường trung tuyến \(AM\) và đường phân giác \(AD\). Tính diện tích tam

Câu hỏi số 540972:

Vận dụng cao

Cho tam giác \(ABC\) với đường trung tuyến \(AM\) và đường phân giác \(AD\). Tính diện tích tam giác \(ADM\), biết \(AM = m,AC = n\left( {n > m} \right)\) và diện tích của tam giác \(ABC\) là \(S\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:540972

Phương pháp giải

Vận dụng tính chất đường phân giác trong tam giác.

Giải chi tiết

Xét \(\Delta ABC\) có:\(AD\) là đường phân giác của \(\angle BAC \Rightarrow \dfrac{{BD}}{{DC}} = \dfrac{{AB}}{{AC}}\) (tính chất đường phân giác trong tam giác)

Ta có: \(\dfrac{{{S_{\Delta ABD}}}}{{{S_{\Delta ADC}}}} = \dfrac{{DB}}{{DC}}\) (do hai tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh \(A\))

Nên \(\dfrac{{{S_{\Delta ABD}}}}{{{S_{\Delta ADC}}}} = \dfrac{{DB}}{{DC}} = \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{m}{n}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{{S_{\Delta ADC}}}}{{{S_{\Delta ABD}}}} = \dfrac{n}{m}\\ \Rightarrow \dfrac{{{S_{\Delta ADC}}}}{{{S_{\Delta ABD}}}} + 1 = \dfrac{n}{m} + 1\\ \Rightarrow \dfrac{{{S_{\Delta ADC}} + {S_{\Delta ABD}}}}{{{S_{\Delta ABD}}}} = \dfrac{{n + m}}{m}\\ \Rightarrow \dfrac{{{S_{\Delta ABD}}}}{{{S_{\Delta ADC}} + {S_{\Delta ABD}}}} = \dfrac{m}{{n + m}}\\ \Rightarrow \dfrac{{{S_{\Delta ABD}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \dfrac{m}{{n + m}}\\ \Rightarrow {S_{\Delta ABD}} = \dfrac{{mS}}{{n + m}}\end{array}\)

Vì \(AM\) là đường trung tuyến của \(\Delta ABC\left( {gt} \right) \Rightarrow {S_{\Delta ABM}} = \dfrac{1}{2}{S_{\Delta ABC}}\)

Có \(AB < AC\left( {do\,\,m < n} \right)\) và \(AD\) là đường phân giác, \(AM\) là đường trung tuyến kẻ từ đỉnh \(A\) nên \(AD\) nằm giữa \(AB\) và \(AM\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {S_{\Delta ADM}} = {S_{\Delta ABM}} - {S_{\Delta ABD}}\\ \Rightarrow {S_{\Delta ADM}} = \dfrac{1}{2}S - \dfrac{{mS}}{{n + m}} = \dfrac{{\left( {m + n - 2m} \right)S}}{{2\left( {m + 2} \right)}}\\ \Rightarrow {S_{\Delta ADM}} = \dfrac{{\left( {n - m} \right)S}}{{2\left( {m + n} \right)}}\,\,\left( {n > m} \right)\end{array}\)

Tham Gia Group Dành Cho Lớp 8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link