Cho tam giác \(ABC{\rm{ }}\left( {AB{\rm{ }} < {\rm{ }}AC} \right)\) có ba góc nhọn. Đường tròn tâm \(O\)
Cho tam giác \(ABC{\rm{ }}\left( {AB{\rm{ }} < {\rm{ }}AC} \right)\) có ba góc nhọn. Đường tròn tâm \(O\) đường kính \(BC\) cắt các cạnh \(AC,AB\) lần lượt tại \(E,F\). Gọi \(H\) là giao điểm của \(BE\) và \(CF\) ; \(D\) là giao điểm của \(AH\) và \(BC\).
a) Chứng minh \(AD \bot BC\)và \(AH.AD = AE.{\rm{ }}AC\)
b) Chứng minh tứ giác \(EFDO\) là tứ giác nội tiếp.
c) Trên tia đối tia \(DE\) lấy \(L\) sao cho \(DL = DF\). Tính số đo góc \(BLC\).
d) Gọi \(R,S\) là hình chiếu vuông góc của \(B,C\) trên \(EF\). Chứng minh \(DE + DF = RS\)
Quảng cáo
a) Chứng minh \(AD \bot BC\)và \(AH.AD = AE.{\rm{ }}AC\)
xét \(\left( O \right):\,\angle BEC = {90^o}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
suy ra \(BE \bot AC\). Chứng minh tương tự \(CF \bot AB\)
Xét tam giác \(ABC\) ta có: \(BE \bot AC;\,CF\, \bot AB\) (cmt)
Nên \(H\) là trực tâm \(\Delta ABC\) suy ra \(AD \bot BC\).
Xét tam giác \(AEH\) và tam giác \(ADC\) ta có:
\(\angle DAC\) chung
\(\angle AEH = \angle ADC = {90^o}\)
Suy ra \(\Delta AEH\) đồng dạng \(\Delta ADC\) (g.g)
Suy ra \(\dfrac{{AE}}{{AD}} = \dfrac{{AH}}{{AC}} \Leftrightarrow AH.AD = AE.AC\)
b) Chứng minh tứ giác \(EFDO\) là tứ giác nội tiếp.
*) Chứng minh tứ giác DHEC nội tiếp suy ra góc HDE = góc HCE
Chứng minh tứ giác HDBF nội tiếp suy ra góc HDF= góc HBF
Suy ra góc EDF = góc HDE + góc HDF = góc DCE + góc HBF=sđcungEF
Mà góc EOF = sđcungEF
Suy ra góc EDF = góc EOF
Xét tứ giác EFDO:
góc EDF = góc EOF
Mà D và O là hai đỉnh kề nhau
Suy ra tứ giác EFDO nội tiếp
c) Trên tia đối tia \(DE\) lấy \(L\) sao cho \(DL = DF\). Tính số đo góc \(BLC\).
*) Chứng minh được tam giác BDF=tam giác BDL (c.g.c)
Suy ra BL=BF và góc FBD=gócLBD
*) Chứng minh tam giác OFB= tam giác OBL (c.g.c)
Suy ra OL=OF suy ra L thuộc đường tròn (O)
Suy ra góc BLC = 900
d) Gọi \(R,S\) là hình chiếu vuông góc của \(B,C\) trên \(EF\). Chứng minh \(DE + DF = RS\)
*) SC cắt (O) tại I; EO cắt (O) tại K
Ta chứng minh được cung EI= cung BF = cung BL nên góc ECI = góc BKL
Suy ra góc BCI = góc LKE
Từ đó chứng minh được tam giác BIC = tam giác ELK
Suy ra BI = EL; Mà EL = DE+DF; BI = RS
Vậy DE + DF = RS.
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
