Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right)\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( Q

Câu hỏi số 541285:

Vận dụng

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right)\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( Q \right):\,\,2x + y - z = 0\) và cắt các trục \(Ox,\,\,Oy,\,\,Oz\) lần lượt tại \(A\left( {2;0;0} \right)\), \(B\left( {0;b;0} \right)\), \(C\left( {0;0;c} \right)\) với \(b > 0,\,\,c > 0\) sao cho thể tích khối tứ diện \(OABC\) bằng \(3\). Giá trị của \(b - c\) bằng

A. \( - 6\)

B. \( - 9\)

C. \(9\)

D. \(6\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:541285

Phương pháp giải

- Viết phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) dưới dạng mặt chắn.

- Tính \({V_{OABC}} = \dfrac{1}{6}OA.OB.OC\).

- Xác định VTPT của \(\left( P \right),\,\,\left( Q \right)\) lần lượt là \(\overrightarrow {{n_P}} ,\,\,\overrightarrow {{n_Q}} \).

- Vì \(\left( P \right) \bot \left( Q \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}} = 0\).

- Sử dụng: Cho hai số có tổng bằng S và tích bằng P thỏa mãn \({S^2} + 4P \ge 0\), khi đó chúng là nghiệm của phương trình \({X^2} - SX + P = 0\).

- Giải phương trình tìm \(b,\,\,c\). Chú ý ĐK \(b > 0,\,\,c > 0\).

Giải chi tiết

Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,\,\dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1\).

Ta có: \({V_{OABC}} = \dfrac{1}{6}\left| {2bc} \right| = 3\, \Rightarrow bc = 9\, \Rightarrow \,\dfrac{1}{b}.\left( { - \dfrac{1}{c}} \right) = - \dfrac{1}{9}\,\,\left( {do\,\,b,c > 0} \right)\) (1)

Lại có:

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{b};\dfrac{1}{c}} \right)\), mặt phẳng \(\left( Q \right):\,\,2x + y - z = 0\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {2;1; - 1} \right)\).

Mà \(\left( P \right) \bot \left( Q \right)\, \Rightarrow \left( {\dfrac{1}{2}} \right).2 + \dfrac{1}{b}.1 + \dfrac{1}{c}.\left( { - 1} \right) = 0\, \Leftrightarrow 1 + \dfrac{1}{b} - \dfrac{1}{c} = 0 \Leftrightarrow \dfrac{1}{b} - \dfrac{1}{c} = - 1\) (2).

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \dfrac{1}{b}\) và \( - \dfrac{1}{c}\) là nghiệm của phương trình \({X^2} - X - \dfrac{1}{9} = 0 \Leftrightarrow X = \dfrac{{3 \pm \sqrt {13} }}{6}\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{1}{b} = \dfrac{{3 + \sqrt {13} }}{6},\,\, - \dfrac{1}{c} = \dfrac{{3 - \sqrt {13} }}{6}\,\,\left( {do\,\,b,\,\,c > 0} \right)\\b = \dfrac{{ - 9 + 3\sqrt {13} }}{2},\,\,c = \dfrac{{9 + 3\sqrt {13} }}{2}\end{array}\)

Vậy \(b - c = \dfrac{{ - 9 + 3\sqrt {13} - 9 - 3\sqrt {13} }}{2} = - 9\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.