Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left( {\overline z + 2i} \right)\left( {z - 4} \right)\) là số thuần

Câu hỏi số 541286:

Thông hiểu

Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left( {\overline z + 2i} \right)\left( {z - 4} \right)\) là số thuần ảo. Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp điểm biểu diễn số phức \(z\) là đường tròn có bán kính bằng

A. \(3\)

B. \(5\)

C. \(\sqrt 5 \)

D. \(\sqrt 3 \)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:541286

Phương pháp giải

- Đặt \(z = a + bi\, \Rightarrow \overline z \, = a - bi\).

- Thay vào \(\left( {\overline z + 2i} \right)\left( {z - 4} \right)\) và giải điều kiện \(\left( {\overline z + 2i} \right)\left( {z - 4} \right)\) là số thuần ảo.

Giải chi tiết

Đặt \(z = a + bi\, \Rightarrow \overline z \, = a - bi\).

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\left( {\overline z + 2i} \right)\left( {z - 4} \right)\\ = \left( {a - bi + 2i} \right)\left( {a + bi - 4} \right)\\ = \left( {a + \left( {2 - b} \right)i} \right)\left( {a - 4 + bi} \right)\\ = a\left( {a - 4} \right) + abi + \left( {a - 4} \right)\left( {2 - b} \right)i - b\left( {2 - b} \right)\\ = a\left( {a - 4} \right) - b\left( {2 - b} \right) + \left[ {ab + \left( {a - 4} \right)\left( {2 - b} \right)} \right]i\end{array}\)

Vì \(\left( {\overline z + 2i} \right)\left( {z - 4} \right)\) là số thuần ảo nên \(a\left( {a - 4} \right) - b\left( {2 - b} \right) = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {a^2} - 4a + {b^2} - 2b = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} = 5\end{array}\)

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức \(z\) là đường tròn có bán kính bằng \(\sqrt 5 \).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.