Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\left( {0; + \infty } \right)\), thỏa

Câu hỏi số 541289:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\left( {0; + \infty } \right)\), thỏa mãn \(x + {e^x}.f'\left( {{e^x}} \right) = f\left( {{e^x}} \right) + 1\) \(\forall x \in \mathbb{R}\) và \(f\left( 1 \right) = 1\). Giá trị \(f\left( 4 \right)\) thuộc khoảng nào sau đây?

A. \(\left( {3;4} \right)\)

B. \(\left( {2;3} \right)\)

C. \(\left( {4;5} \right)\)

D. \(\left( {5;6} \right)\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:541289

Phương pháp giải

Áp dụng công thức tính nguyên hàm của hàm số.

Giải chi tiết

Ta có

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,x + {e^x}f'\left( {{e^x}} \right) = f\left( {{e^x}} \right) + 1\\ \Leftrightarrow {e^x}f'\left( {{e^x}} \right) - f\left( {{e^x}} \right) = 1 - x\\ \Leftrightarrow {e^{ - x}}.{e^x}f'\left( {{e^x}} \right) - {e^{ - x}}.f\left( {{e^x}} \right) = \dfrac{{1 - x}}{{{e^x}}}\\ \Leftrightarrow {e^{ - x}}\left[ {f\left( {{e^x}} \right)} \right]' + \left( {{e^{ - x}}} \right)'.f\left( {{e^x}} \right) = \dfrac{{1 - x}}{{{e^x}}}\\ \Leftrightarrow \left( {{e^{ - x}}.f\left( {{e^x}} \right)} \right)' = \dfrac{{1 - x}}{{{e^x}}}\\ \Leftrightarrow {e^{ - x}}.f\left( {{e^x}} \right) = \int {\dfrac{{1 - x}}{{{e^x}}}dx} \end{array}\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = 1 - x\\dv = {e^{ - x}}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = - dx\\v = - {e^{ - x}}\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int {\dfrac{{1 - x}}{{{e^{ - x}}}}dx} = - \left( {1 - x} \right){e^{ - x}} - \int {{e^{ - x}}dx} \\\,\,\, = \left( {x - 1} \right){e^{ - x}} + {e^{ - x}} + C = x{e^{ - x}} + C\end{array}\)

\( \Rightarrow {e^{ - x}}f\left( {{e^x}} \right) = x{e^{ - x}} + C\)

Thay \(x = 0\, \Rightarrow f\left( 1 \right) = C\, \Rightarrow C = 1\). Khi đó \({e^{ - x}}f\left( {{e^x}} \right) = x{e^{ - x}} + 1 \Leftrightarrow f\left( {{e^x}} \right) = x + {e^x}\).

Thay \(x = \ln 4\, \Rightarrow f\left( 4 \right) = \ln 4 + 4 \approx 5,38 \in \left( {5;6} \right)\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.