Cho \(\left( H \right)\) là hình phẳng giới hạn bởi parabol \(y = \sqrt 3 {x^2}\), cung tròn có phương

Câu hỏi số 543070:

Vận dụng

Cho \(\left( H \right)\) là hình phẳng giới hạn bởi parabol \(y = \sqrt 3 {x^2}\), cung tròn có phương trình \(y = \sqrt {4 - {x^2}} \) (với \(0 \le x \le 2\)) và trục hoành (phần gạch chéo trong hình vẽ). Diện tích của \(\left( H \right)\) bằng

A. \(\dfrac{{4\pi - \sqrt 3 }}{{12}}\)

B. \(\dfrac{{4\pi - \sqrt 3 }}{6}\)

C. \(\dfrac{{4\pi + 2\sqrt 3 - 3}}{6}\)

D. \(\dfrac{{5\sqrt 3 - 2\pi }}{3}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:543070

Giải chi tiết

Phương trình hoành độ giao điểm:

\(\sqrt 3 {x^2} = \sqrt {4 - {x^2}} \Leftrightarrow 3{x^4} + {x^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow x = 1\) (vì \(0 \le x \le 2\))

Gọi \(\left( {{H_1}} \right):\,\,\left\{ \begin{array}{l}y = \sqrt 3 {x^2}\\y = 0\\x = 0\,;\,\,x = 1\end{array} \right.\) và \(\left( {{H_2}} \right):\,\,\left\{ \begin{array}{l}y = \sqrt {4 - {x^2}} \\y = 0\\x = 1\,;\,\,x = 2\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow {S_{\left( H \right)}} = {S_{\left( {{H_1}} \right)}} + {S_{\left( {{H_2}} \right)}}\)

+ \({S_{\left( {{H_1}} \right)}} = \int\limits_0^1 {\sqrt 3 {x^2}dx} = \sqrt 3 .\left. {\dfrac{{{x^3}}}{3}} \right|_0^1 = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\)

+ \({S_{\left( {{H_2}} \right)}} = \int\limits_1^2 {\sqrt {4 - {x^2}} dx} \)

Đặt \(x = 2\sin t\,\,;\,\,\,\,t \in \left[ { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right]\) \( \Rightarrow dx = 2\cos tdt\)

Với \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = \dfrac{\pi }{6}\\x = 2 \Rightarrow t = \dfrac{\pi }{2}\end{array} \right.\)

Khi đó:

\(\begin{array}{l}{S_{\left( {{H_2}} \right)}} = \int\limits_{\dfrac{\pi }{6}}^{\dfrac{\pi }{2}} {\sqrt {4 - 4{{\sin }^2}t} 2\cos tdt} = \int\limits_{\dfrac{\pi }{6}}^{\dfrac{\pi }{2}} {2\sqrt {{{\cos }^2}t} .2\cos tdt} = 4\int\limits_{\dfrac{\pi }{6}}^{\dfrac{\pi }{2}} {\dfrac{{\cos 2t + 1}}{2}dt} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left. {2\left( {\dfrac{{\sin 2t}}{2} + t} \right)} \right|_{\dfrac{\pi }{6}}^{\dfrac{\pi }{2}} = 2\left[ {\dfrac{\pi }{2} - \left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{4} + \dfrac{\pi }{6}} \right)} \right] = \dfrac{{2\pi }}{3} - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\end{array}\)

\( \Rightarrow {S_{\left( H \right)}} = {S_{\left( {{H_1}} \right)}} + {S_{\left( {{H_2}} \right)}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3} + \left( {\dfrac{{2\pi }}{3} - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) = \dfrac{{2\pi }}{3} - \dfrac{{\sqrt 3 }}{6} = \dfrac{{4\pi - \sqrt 3 }}{6}\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.