Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục và dương trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) thỏa mãn

Câu hỏi số 543152:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục và dương trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) thỏa mãn \(f'\left( x \right) + \left( {2x + 4} \right){f^2}\left( x \right) = 0\) và \(f\left( 0 \right) = \dfrac{1}{3}\). Tính tổng \(S = f\left( 0 \right) + f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right) + ... + f\left( {2018} \right) = \dfrac{a}{b}\) với \(a \in {\bf{Z}}\,;\,\,b \in {\bf{N}}\,;\,\,\dfrac{a}{b}\) là phân số tối giản. Khi đó \(b - a\) bằng?

A. không có đáp án đúng

B. \(1011\)

C. \(1\)

D. \(2018\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:543152

Giải chi tiết

Ta có: \(f'\left( x \right) + \left( {2x + 4} \right){f^2}\left( x \right) = 0 \Rightarrow \dfrac{{ - f'\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}} = 2x + 4\)

Lấy nguyên hàm cả hai vế ta được:

\(\int {\dfrac{{ - f\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}}dx} = \int {\left( {2x + 4} \right)dx} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{f\left( x \right)}} = {x^2} + 4x + C\)

Mà \(f\left( 0 \right) = \dfrac{1}{3} \Rightarrow \dfrac{1}{{\dfrac{1}{3}}} = {0^2} + 4.0 + C \Leftrightarrow C = 3\)

\( \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{1}{{{x^2} + 4x + 3}}\)

Cách 1: Tư duy trị số riêng Casio:

\(f\left( 0 \right) = \dfrac{1}{3}\)

\(f\left( 0 \right) + f\left( 1 \right) = \sum\limits_{x = 0}^1 {\dfrac{1}{{{x^2} + 4x + 3}}} = \dfrac{{11}}{{24}}\)

\(f\left( 0 \right) + f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right) = \sum\limits_{x = 0}^2 {\dfrac{1}{{{x^2} + 4x + 3}}} = \dfrac{{21}}{{40}}\)

\(f\left( 0 \right) + f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right) + f\left( 3 \right) = \sum\limits_{x = 0}^3 {\dfrac{1}{{{x^2} + 4x + 3}}} = \dfrac{{17}}{{30}}\)

…

(Chưa đoán được quy luật)

Cách 2:

\(f\left( x \right) = \dfrac{1}{{{x^2} + 4x + 3}} = \dfrac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{{x + 1}} - \dfrac{1}{{x + 3}}} \right)\)

Ta có:

\(f\left( 0 \right) = \dfrac{1}{2}.\left( {\dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{3}} \right)\)

\(f\left( 1 \right) = \dfrac{1}{2}.\left( {\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4}} \right)\)

\(f\left( 2 \right) = \dfrac{1}{2}.\left( {\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{5}} \right)\)

\(f\left( 3 \right) = \dfrac{1}{2}.\left( {\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{6}} \right)\)

\(f\left( 4 \right) = \dfrac{1}{2}.\left( {\dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{7}} \right)\)

… … …

\(f\left( {2016} \right) = \dfrac{1}{2}.\left( {\dfrac{1}{{2017}} - \dfrac{1}{{2019}}} \right)\)

\(f\left( {2017} \right) = \dfrac{1}{2}.\left( {\dfrac{1}{{2018}} - \dfrac{1}{{2020}}} \right)\)

\(f\left( {2018} \right) = \dfrac{1}{2}.\left( {\dfrac{1}{{2019}} - \dfrac{1}{{2021}}} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow S = f\left( 0 \right) + f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right) + ... + f\left( {2017} \right) + f\left( {2018} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{2}.\left( {1 + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{{2020}} - \dfrac{1}{{2021}}} \right) = \dfrac{1}{2}.\left( {\dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{{2020}} - \dfrac{1}{{2021}}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{3.1010.2021 - 2021 - 2020}}{{2.2020.2021}} = \dfrac{{6119589}}{{8164840}} = \dfrac{a}{b}\end{array}\)

Vậy \(b - a = 8164840 - 6119589 = 2045251\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.