Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường tròn \(\left( C \right):\,\,{x^2} + {y^2} - 2x + 8y + 4 = 0\)

Câu hỏi số 543557:

Vận dụng

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường tròn \(\left( C \right):\,\,{x^2} + {y^2} - 2x + 8y + 4 = 0\) và đường thẳng \(\Delta :x - y + 1 = 0\). Qua \(M\) thuộc đường thẳng \(\Delta \), kẻ hai tiếp tuyến \(MA;\,\,MB\) đến đường tròn \(\left( C \right)\) với \(A;\,\,B\) là tiếp điểm. Tìm tọa độ điểm \(M\) sao cho diện tích tam giác \(IAB\) đạt giá trị lớn nhất (với \(I\) là tâm đường tròn \(\left( C \right)\))

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:543557

Phương pháp giải

+ Đường tròn \(\left( C \right):\,\,{x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) có tâm \(I\left( {a;\,b} \right);\,\,R = \,\sqrt {{a^2} + {b^2} - c} \)

+ Diện tích tam giác \(IAB\) là: \({S_{IAB}} = \,\dfrac{1}{2}IA.IB.\sin \angle AIB \le \dfrac{1}{2}IA.IB\)

Trong đó,\(IA;\,\,IB\) không đổi.

Suy ra, diện tích tam giác \(IAB\) lớn nhất \( \Leftrightarrow \sin \angle AIB = 1 \Leftrightarrow \angle AIB = {90^0}\).

+ Áp dụng định lí Pytago để tính \(IM\).

+ Tham số hóa tọa độ điểm \(M\). Dựa vào độ dài \(IM\,\, \Rightarrow M\).

Giải chi tiết

Đường tròn \(\left( C \right):\,\,{x^2} + {y^2} - 2x + 8y + 4 = 0\) có tâm \(I\left( {1; - 4} \right);\,\,R = \,\sqrt {1 + 16 - 4} = \,\sqrt {13} \)

Diện tích tam giác \(IAB\) là: \({S_{IAB}} = \,\dfrac{1}{2}IA.IB.\sin \angle AIB = \,\dfrac{1}{2}.R.R.\sin \angle AIB = \,\dfrac{{13}}{2}.\sin \angle AIB \le \dfrac{{13}}{2}\)

Suy ra, diện tích tam giác \(IAB\) lớn nhất \( \Leftrightarrow \sin \angle AIB = 1 \Leftrightarrow \angle AIB = {90^0}\).

Khi đó, tứ giác \(MAIB\) là hình vuông (tứ giác có ba góc vuông và có hai cạnh kề bằng nhau).

Áp dụng định lí Pytago ta có: \(I{M^2} = I{A^2} + A{M^2} = 2{R^2} = 26\)

Vì điểm \(M \in \Delta \Rightarrow M\left( {x;\,\,x + 1} \right)\)

Lại có:

\(\begin{array}{l}I{M^2} = 26\, \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {x + 5} \right)^2} = 26\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 + {x^2} + 10x + 25 - 26 = 0 \Leftrightarrow 2{x^2} + 8x = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = - 4}\end{array}} \right.\end{array}\)

Với \(x = 0 \Rightarrow M\left( {0;1} \right)\).

Với \(x = - 4\, \Rightarrow M\left( { - 4; - 3} \right)\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10