Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường tròn \(\left( C \right):\,\,{x^2} + {y^2} - 2x + 8y + 4 = 0\)

Câu hỏi số 543557:

Vận dụng

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường tròn \(\left( C \right):\,\,{x^2} + {y^2} - 2x + 8y + 4 = 0\) và đường thẳng \(\Delta :x - y + 1 = 0\). Qua \(M\) thuộc đường thẳng \(\Delta \), kẻ hai tiếp tuyến \(MA;\,\,MB\) đến đường tròn \(\left( C \right)\) với \(A;\,\,B\) là tiếp điểm. Tìm tọa độ điểm \(M\) sao cho diện tích tam giác \(IAB\) đạt giá trị lớn nhất (với \(I\) là tâm đường tròn \(\left( C \right)\))

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:543557

Phương pháp giải

+ Đường tròn \(\left( C \right):\,\,{x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) có tâm \(I\left( {a;\,b} \right);\,\,R = \,\sqrt {{a^2} + {b^2} - c} \)

+ Diện tích tam giác \(IAB\) là: \({S_{IAB}} = \,\dfrac{1}{2}IA.IB.\sin \angle AIB \le \dfrac{1}{2}IA.IB\)

Trong đó,\(IA;\,\,IB\) không đổi.

Suy ra, diện tích tam giác \(IAB\) lớn nhất \( \Leftrightarrow \sin \angle AIB = 1 \Leftrightarrow \angle AIB = {90^0}\).

+ Áp dụng định lí Pytago để tính \(IM\).

+ Tham số hóa tọa độ điểm \(M\). Dựa vào độ dài \(IM\,\, \Rightarrow M\).

Giải chi tiết

Đường tròn \(\left( C \right):\,\,{x^2} + {y^2} - 2x + 8y + 4 = 0\) có tâm \(I\left( {1; - 4} \right);\,\,R = \,\sqrt {1 + 16 - 4} = \,\sqrt {13} \)

Diện tích tam giác \(IAB\) là: \({S_{IAB}} = \,\dfrac{1}{2}IA.IB.\sin \angle AIB = \,\dfrac{1}{2}.R.R.\sin \angle AIB = \,\dfrac{{13}}{2}.\sin \angle AIB \le \dfrac{{13}}{2}\)

Suy ra, diện tích tam giác \(IAB\) lớn nhất \( \Leftrightarrow \sin \angle AIB = 1 \Leftrightarrow \angle AIB = {90^0}\).

Khi đó, tứ giác \(MAIB\) là hình vuông (tứ giác có ba góc vuông và có hai cạnh kề bằng nhau).

Áp dụng định lí Pytago ta có: \(I{M^2} = I{A^2} + A{M^2} = 2{R^2} = 26\)

Vì điểm \(M \in \Delta \Rightarrow M\left( {x;\,\,x + 1} \right)\)

Lại có:

\(\begin{array}{l}I{M^2} = 26\, \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {x + 5} \right)^2} = 26\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 + {x^2} + 10x + 25 - 26 = 0 \Leftrightarrow 2{x^2} + 8x = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = - 4}\end{array}} \right.\end{array}\)

Với \(x = 0 \Rightarrow M\left( {0;1} \right)\).

Với \(x = - 4\, \Rightarrow M\left( { - 4; - 3} \right)\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.