Tứ diện đều ABCD có cạnh a. Mặt cầu (S) tiếp xúc với AB, AC, AD lần lượt tại B, C, D giới

Câu hỏi số 545213:

Vận dụng

Tứ diện đều ABCD có cạnh a. Mặt cầu (S) tiếp xúc với AB, AC, AD lần lượt tại B, C, D giới hạn nên một hình cầu có thể tích là

A. \(\dfrac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{2}\)

B. \(\dfrac{{4\pi {a^3}}}{{81}}\)

C. \(\dfrac{{\pi {a^3}\sqrt 2 }}{3}\)

D. \(\dfrac{{8\pi {a^3}}}{{27}}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:545213

Phương pháp giải

Tính bán kính mặt cầu

Áp dụng công thức thể tích

Giải chi tiết

Gọi H là tâm tam giác đều BCD suy ra AH ⊥ (BCD)

Trong (ABH) kẻ BI vuông góc AB (I ∈ AH) thì I là tâm mặt cầu cần tìm

Ta có \(BH = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\). Lại có

\(\begin{array}{l}\\\dfrac{1}{{B{H^2}}} = \dfrac{1}{{B{A^2}}} + \dfrac{1}{{B{I^2}}} \Rightarrow R = BI = \dfrac{{BA.BH}}{{\sqrt {B{A^2} - B{H^2}} }} = \dfrac{{a.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}}}{{\sqrt {{a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{3}} }} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\end{array}\)

Thể tích khối cầu cần tính là \(V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3} = \dfrac{4}{3}\pi {\left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)^3} = \dfrac{{\pi {a^3}\sqrt 2 }}{3}\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.