Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có \(AB = a,AC = 2a,AA' = \dfrac{{3a\sqrt 6 }}{2}\) và góc BAC bằng 60o.

Câu hỏi số 547257:

Vận dụng cao

Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có \(AB = a,AC = 2a,AA' = \dfrac{{3a\sqrt 6 }}{2}\) và góc BAC bằng 60^o. Gọi M là điểm trên cạnh CC’ sao cho \(\overrightarrow {CM} = 2\overrightarrow {MC'} \).

1. Chứng minh hai đường thẳng AM và B’M vuông góc với nhau

2. Tính khoảng cách từ A’ đến mặt phẳng (AB’M)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:547257

Phương pháp giải

1. Sử đụng định lý Pitago đảo.

2. Kéo dài AM cắt A’C’ tại D

Vẽ A’K ⊥ B’D tại K và A’H ⊥ AK tại H thì A’H là khoảng cách cần tìm

Giải chi tiết

1. Ta có

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {CM} = 2\overrightarrow {MC'} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}CM = \dfrac{2}{3}CC' = a\sqrt 6 \\C'M = \dfrac{{CM}}{2} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}\end{array} \right.\\A{M^2} = A{C^2} + C{M^2} = 10{a^2}\\B{C^2} = A{C^2} + A{B^2} - 2AB.AC.\cos 60^\circ = 3{a^2}\\B'{M^2} = B'C{'^2} + C'{M^2} = \dfrac{{9{a^2}}}{2}\\AB{'^2} = A{B^2} + BB{'^2} = \dfrac{{29{a^2}}}{2}\\ \Rightarrow AB{'^2} = A{M^2} + MB{'^2}\end{array}\)

Suy ra tam giác AMB’ vuông tại M, hay AM ⊥ MB’ (định lí Pytago đảo).

2. Gọi giao AM và A’C’ là D. Vẽ A’K ⊥ B’D tại K; A’H ⊥ AK tại H.

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}B'D \bot AK\\B'D \bot AA'\end{array} \right. \Rightarrow B'D \bot \left( {AA'K} \right)\) \( \Rightarrow A'H \bot B'D\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}A'H \bot B'D\\A'H \bot AK\end{array} \right. \Rightarrow A'H \bot \left( {AKD} \right)\) hay \(A'H \bot \left( {AB'M} \right)\).

Do đó \(d\left( {A',\left( {AB'M} \right)} \right) = A'H\).

+ Tính A’K:

Vẽ B’E ⊥ A’C’ tại E. Ta có

\(\begin{array}{l}A'E = A'B'.cos60^\circ = \dfrac{a}{2},\,\,B'E = A'B'.\sin 60^\circ = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\\ \Rightarrow EC' = A'C' - A'E = \dfrac{{3a}}{2}\end{array}\)

Áp dụng định lí Ta-lét ta có: \(\dfrac{{C'D}}{{AC}} = \dfrac{{C'M}}{{CM}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow C'D = \dfrac{{AC}}{2} = a\).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A'D = A'C' + C'D = 3a\\ED = EC' + C'D = \dfrac{{5a}}{2}\end{array} \right.\)

Áp dụng định lí Pytago: \(B'D = \sqrt {B'{E^2} + E{D^2}} = a\sqrt 7 \).

Do hai tam giác vuông A’KD và B’ED đồng dạng (g.g) nên \(\dfrac{{A'K}}{{B'E}} = \dfrac{{A'D}}{{B'D}} \Rightarrow A'K = \dfrac{{B'E.A'D}}{{B'D}} = \dfrac{{3a\sqrt {21} }}{{14}}\)

+ Tính A’H:

Tam giác AA’K vuông tại A’, có A’H ⊥ AK nên áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

\(\dfrac{1}{{A'{H^2}}} = \dfrac{1}{{A'{A^2}}} + \dfrac{1}{{A'{K^2}}} \Rightarrow A'H = \dfrac{{3a\sqrt {10} }}{{10}}\)

Vậy khoảng cách từ A’ đên (AB’M) là \(\dfrac{{3a\sqrt {10} }}{{10}}\).

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.