Công ty A sản xuất các thùng tôn dạng hình hộp chữ nhật có thể tích V(m3), hệ số k cho

Câu hỏi số 547256:

Vận dụng

Công ty A sản xuất các thùng tôn dạng hình hộp chữ nhật có thể tích V(m³), hệ số k cho trước là tỉ số giữa chiều cao của thùng và chiều rộng của đáy). Hãy xác định các kích thước của đáy thùng để khi sản xuất tiết kiệm nguyên vật liệu nhất?

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:547256

Phương pháp giải

Đặt chiều rộng của đáy thùng là x và lập công thức diện tích toàn phần của hình hộp.

Áp dụng BĐT để tìm GTNN của diện tích toàn phần

Giải chi tiết

Gọi chiều rộng của đáy thùng là x (m) (x > 0). Suy ra chiều cao của thùng là kx (m).

Khi đó chiều dài của đáy thùng là \(\dfrac{V}{{x.kx}} = \dfrac{V}{{k{x^2}}}\).

Diện tích toàn phần của hình hộp là \({S_{tp}} = 2\left( {x.kx + x.\dfrac{V}{{k{x^2}}} + kx.\dfrac{V}{{k{x^2}}}} \right) = 2\left[ {k{x^2} + \dfrac{{V\left( {k + 1} \right)}}{{kx}}} \right]\)

Áp dụng BĐT Cô–si cho 3 số dương, ta có \(k{x^2} + \dfrac{{V\left( {k + 1} \right)}}{{2kx}} + \dfrac{{V\left( {k + 1} \right)}}{{2kx}} \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{{{V^2}{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}{{4k}}}}\).

\( \Rightarrow {S_{tp}} \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{{2{V^2}{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}{k}}}\).

Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow k{x^2} = \dfrac{{V\left( {k + 1} \right)}}{{2kx}} \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{{\dfrac{{V\left( {k + 1} \right)}}{{2{k^2}}}}}\).

Khi đó chiều dài đáy thùng là \(\dfrac{V}{{k{x^2}}} = \dfrac{{2kx}}{{k + 1}} = \sqrt[3]{{\dfrac{{4Vk}}{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}}}\)

Vậy nguyên liệu sẽ được tiết kiệm nhất khi các kích thước của đáy thùng là \(\sqrt[3]{{\dfrac{{V\left( {k + 1} \right)}}{{2{k^2}}}}};\sqrt[3]{{\dfrac{{4Vk}}{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}}}\).

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.