Cho khối nón tròn xoay có đường cao \(h = a\) và bán kính đáy \(r = \dfrac{{5a}}{4}\). Một mặt

Câu hỏi số 547925:

Vận dụng

Cho khối nón tròn xoay có đường cao \(h = a\) và bán kính đáy \(r = \dfrac{{5a}}{4}\). Một mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua đỉnh của khối nón và có khoảng cách đến tâm \(O\) bằng \(\dfrac{{3a}}{5}\). Diện tích thiết diện tạo bởi \(\left( P \right)\) và hình nón bằng

A. \(\dfrac{7}{4}{a^2}\).

B. \(\dfrac{5}{2}{a^2}\).

C. \(\dfrac{7}{2}{a^2}\).

D. \(\dfrac{5}{4}{a^2}\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:547925

Phương pháp giải

- Dựng mặt phẳng thiết diện.

- Dựng khoảng cách từ O đến mặt phẳng thiết diện.

- Sử dụng tam giác đồng dạng, suy ra tỉ số đồng dạng, tính OI theo a.

- Tính diện tích thiết diện.

Giải chi tiết

Gọi giao tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) với mặt đáy là \(AB\).

Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\). Khi đó \(OI \bot AB\) (đường kính đi qua trung điểm của dây cung).

Mà \(SO \bot AB\) nên \(AB \bot \left( {SOI} \right)\) \( \Rightarrow \left( {SAB} \right) \bot \left( {SOI} \right)\).

Kẻ \(OH \bot SI\,\,\left( {H \in SI} \right)\). Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}OH \bot SI\\OH \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow OH \bot \left( {SAB} \right)\).

Suy ra \(OH = d\left( {O,\left( P \right)} \right) = \dfrac{{3a}}{5}\).

Ta có \(\Delta SHO\~\Delta SOI\,\,\left( {g.g} \right) \Rightarrow \dfrac{{SO}}{{SI}} = \dfrac{{OH}}{{OI}}\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} + O{I^2}} }} = \dfrac{{\dfrac{{3a}}{5}}}{{OI}} \Leftrightarrow O{I^2} = \dfrac{9}{{25}}\left( {{a^2} + O{I^2}} \right)\\ \Leftrightarrow \dfrac{{16}}{{25}}O{I^2} = \dfrac{9}{{25}}{a^2} \Leftrightarrow OI = \dfrac{{3a}}{4}\\ \Rightarrow SI = \sqrt {S{O^2} + O{I^2}} = \sqrt {{a^2} + \dfrac{{9{a^2}}}{{16}}} = \dfrac{{5a}}{4}\end{array}\)

Lại có: \(IB = \sqrt {O{B^2} - O{I^2}} = \sqrt {\dfrac{{25{a^2}}}{{16}} - \dfrac{{9{a^2}}}{{16}}} = a\) \( \Rightarrow AB = 2a\).

Vậy diện tích tam giác \(SAB\) là \({S_{SAB}} = \dfrac{1}{2}SI.AB = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{5a}}{4}.2a = \dfrac{{5{a^2}}}{4}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.