Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn \({2^x} - {\log _2}\left( {{2^{x - 1}} + y}

Câu hỏi số 547926:

Vận dụng cao

Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn \({2^x} - {\log _2}\left( {{2^{x - 1}} + y} \right) = 2y - x\) và \(2 \le y \le 2022\)?

A. 2022.

B. 9.

C. 2021.

D. 10.

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:547926

Phương pháp giải

- Đặt \({\log _2}\left( {{2^{x - 1}} + y} \right) = t > 1\).

- Đưa về dạng hàm đặc trưng rồi biện luận.

Giải chi tiết

Đặt \({\log _2}\left( {{2^{x - 1}} + y} \right) = t\).

Do \({2^{x - 1}} > 0,\,\,y \ge 2\) nên \({2^{x - 1}} + y > 2 \Rightarrow t > 1\).

Khi đó: \({2^{x - 1}} + y = {2^t} \Rightarrow y = {2^t} - {2^{x - 1}}\)

Phương trình trở thành \({2^x} - t = {2^{t + 1}} - {2^x} - x\)\( \Leftrightarrow {2^{x + 1}} + x = {2^{t + 1}} + t\,\,\left( 1 \right)\)

Xét hàm số \(g\left( x \right) = {2^{x + 1}} + x,\,\,\forall x > 1\) ta có \(g'\left( x \right) = {2^{x + 1}}\ln 2 + 1 > 0,\,\,\forall x > 1\).

Do đó hàm số đồng biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\).

Như vậy \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow g\left( x \right) = g\left( t \right) \Leftrightarrow x = t\).

\( \Leftrightarrow x = {\log _2}\left( {{2^{x - 1}} + y} \right) \Leftrightarrow {2^x} = {2^{x - 1}} + y \Leftrightarrow y = {2^{x - 1}}\).

Vì \(2 \le y \le 2022\) nên \(2 \le {2^{x - 1}} \le 2022\)

\( \Leftrightarrow 1 \le x - 1 \le {\log _2}\left( {2022} \right) \Leftrightarrow 2 \le x \le 1 + {\log _2}\left( {2022} \right)\).

Mà \(x \in \mathbb{Z}\) nên \(x \in \left\{ {2;3;...;11} \right\}\).

Ứng với mỗi số nguyên x có 1 số nguyên y sao cho \(y = {2^{x - 1}}\).

Vậy có 10 cặp số nguyên \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.