Cho hình chóp \(S.ABCD\) có các cạnh bên bằng \(a\), đáy \(ABCD\) là hình vuông tâm \(O\) cạnh \(a\).

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có các cạnh bên bằng \(a\), đáy \(ABCD\) là hình vuông tâm \(O\) cạnh \(a\). Gọi điểm \(M\) là trung điểm của \(BC\).

Trả lời cho các câu 1, 2, 3 dưới đây:

Câu hỏi số 1:

Vận dụng

a) Chứng minh \(SO\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).

Xem lời giải

Câu hỏi:548115

Phương pháp giải

Muốn chứng minh một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng, ta chứng minh đường thẳng đó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng nằm trên mặt phẳng.

Trong tam giác cân, đường trung tuyến đồng thời là đường cao.

Giải chi tiết

Vì \(O\)là trung điểm của \(AC\), \(BD\) và \(SA = SB = SC = SD\)nên ta có

\(\left. \begin{array}{l}SO \bot AC\\SO \bot BD\end{array} \right\} \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\).

Câu hỏi số 2:

Vận dụng

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(SD\).

Xem lời giải

Câu hỏi:548116

Phương pháp giải

Nếu \(d//\,\,a;\,a \subset \left( P \right);\,d \not\subset \left( P \right)\) thì \(d\left( {d;a} \right) = d\left( {d;\,\,\left( P \right)} \right) = d\left( {A;\,\left( P \right)} \right)\), trong đó \(A\) là điểm bất kì nằm trên đường thẳng d.

Giải chi tiết

Ta có \(AB//\left( {SCD} \right) \supset SD\) nên suy ra \(d\left( {AB,SD} \right) = d\left( {AB,\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right)\).

Gọi \(K\)là trung điểm của \(CD\), \(H\)là hình chiếu của \(O\)lên \(SK\). Khi đó

\(d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right) = 2d\left( {O,\left( {SCD} \right)} \right) = 2OH = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\).

Câu hỏi số 3:

Vận dụng

c) Gọi \(\varphi \) là góc giữa \(AM\)và mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\). Tính \(\sin \varphi \).

Xem lời giải

Câu hỏi:548117

Phương pháp giải

Cách 1: Muốn xác định góc giữa đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\), ta cần xác định hình chiếu vuông góc \(d'\) của đường thẳng \(d\) trên mặt phẳng \(\left( P \right)\). Khi đó; \(\left( {d;\,\,\left( P \right)} \right) = \left( {d;\,\,d'} \right)\).

Cách 2: Gọi \(E\)là giao điểm của \(AM\)và \(CD\). Khi đó \(\sin \varphi = \dfrac{{d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right)}}{{AE}}\).

Giải chi tiết

Gọi \(E\)là giao điểm của \(AM\)và \(CD\). Khi đó \(\sin \varphi = \dfrac{{d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right)}}{{AE}}\)

\(d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3};AE = 2AM = 2\sqrt {A{B^2} + B{M^2}} = a\sqrt 5 \).

Suy ra, \(\sin \varphi = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{{3a\sqrt 5 }} = \dfrac{{\sqrt {30} }}{{15}}\).

Quảng cáo

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.