Cho hàm số \(f\left( x \right)\) thoả mãn \(f\left( 2 \right) = - \dfrac{1}{3}\) và \(f'\left( x

Câu hỏi số 548400:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) thoả mãn \(f\left( 2 \right) = - \dfrac{1}{3}\) và \(f'\left( x \right) = x{\left[ {f\left( x \right)} \right]^2}\) với mọi \(x \in {\bf{R}}\). Giá trị của \(f\left( 1 \right)\) bằng

A. \( - \dfrac{2}{3}\)

B. \( - \dfrac{2}{9}\)

C. \( - \dfrac{7}{6}\)

D. \( - \dfrac{{11}}{6}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:548400

Phương pháp giải

Chia 2 vế hệ thức (1) cho \({\left[ {f\left( x \right)} \right]^2}\, \Rightarrow \dfrac{{f'\left( x \right)}}{{{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}}} = x,\,\forall x \in \left[ {1;2} \right]\)

Lấy tích phân hai vế trên đoạn \(\left[ {1;2} \right]\) hệ thức vừa tìm được, từ đó tính được \(f\left( 1 \right)\).

Giải chi tiết

Từ hệ thức đề cho \(f'\left( x \right) = x{\left[ {f\left( x \right)} \right]^2}\) (1) ta suy ra \(f'\left( x \right) \ge 0\,\forall \,x \in \left[ {1;2} \right]\)

Do đó \(f\left( x \right)\) là hàm không giảm trên đoạn \(\left[ {1;2} \right]\), ta có: \(f\left( x \right) \le f\left( 2 \right) < 0\,\forall x \in \left[ {1;2} \right]\)

Lấy tích phân hai vế trên đoạn \(\left[ {1;2} \right]\) hệ thức vừa tìm được, ta được:

\(\int\limits_1^2 {\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}}}dx} = \int\limits_1^2 {xdx} \Rightarrow \int\limits_1^2 {\dfrac{1}{{{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}}}d\left( {f\left( x \right)} \right)} = \dfrac{3}{2}\)

\( \Rightarrow \left. {\dfrac{{ - 1}}{{f\left( x \right)}}} \right|_1^2 = \dfrac{3}{2} \Rightarrow \dfrac{1}{{f\left( 1 \right)}} - \dfrac{1}{{f\left( 2 \right)}} = \dfrac{3}{2}\)

Do \(f\left( 2 \right) = - \dfrac{1}{3}\) nên suy ra \(f\left( 1 \right) = - \dfrac{2}{3}\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.