Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên \({\bf{R}}\backslash \left\{ 0 \right\}\)

Câu hỏi số 548402:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên \({\bf{R}}\backslash \left\{ 0 \right\}\) thỏa mãn \({x^2}{f^2}\left( x \right) + \left( {2x - 1} \right)f\left( x \right) = xf'\left( x \right) - 1\), với mọi \(x \in {\bf{R}}\backslash \left\{ 0 \right\}\) đồng thời thỏa mãn \(f\left( 1 \right) = - 2\). Tính \(\int\limits_1^{} {f\left( x \right)dx} \)

A. \( - \dfrac{{\ln 2}}{2} - 1\)

B. \( - \ln 2 - \dfrac{1}{2}\)

C. \( - \ln 2 - \dfrac{3}{2}\)

D. \( - \dfrac{{\ln 2}}{2} - \dfrac{3}{2}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:548402

Phương pháp giải

Biến đổi.

Chia cả 2 vế cho \({\left( {xf\left( x \right) + 1} \right)^2}\), sau đó lấy nguyên hàm hai vế ta tính được \(f\left( x \right)\).

Giải chi tiết

Ta có: \({x^2}{f^2}\left( x \right) + 2xf\left( x \right) + 1 = xf'\left( x \right) + f\left( x \right) \Leftrightarrow {\left( {xf\left( x \right) + 1} \right)^2} = \left( {xf\left( x \right) + 1} \right)\)

Do đó \(\dfrac{{\left( {xf\left( x \right) + 1} \right)'}}{{{{\left( {xf\left( x \right) + 1} \right)}^2}}} = 1 \Rightarrow \int {\dfrac{{\left( {xf\left( x \right) + 1} \right)'}}{{{{\left( {xf\left( x \right) + 1} \right)}^2}}}} dx = \int {1dx} \)\( \Rightarrow - \dfrac{1}{{xf\left( x \right) + 1}} = x + c \Rightarrow xf\left( x \right) + 1 = - \dfrac{1}{{x + c}}\)

Mặt khác: \(f\left( 1 \right) = - 2\) nên \( - 2 + 1 = - \dfrac{1}{{1 + c}} \Rightarrow c = 0 \Rightarrow xf\left( x \right) + 1 = - \dfrac{1}{x} \Rightarrow f\left( x \right) = - \dfrac{1}{{{x^2}}} - \dfrac{1}{x}\)

Vậy \(\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_1^2 {\left( { - \dfrac{1}{{{x^2}}} - \dfrac{1}{x}} \right)dx} = \left. {\left( { - \ln x + \dfrac{1}{x}} \right)} \right|_1^2 = - \ln 2 - \dfrac{1}{2}\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.