Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\left[ {2;4} \right]\) và \(f'\left(

Câu hỏi số 548403:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\left[ {2;4} \right]\) và \(f'\left( x \right) > 0,\,\forall x \in \left[ {2;4} \right]\). Biết \(4{x^3}f\left( x \right) = {\left[ {f'\left( x \right)} \right]^3} - {x^3},\,\forall x \in \left[ {2;4} \right],\,f\left( 2 \right) = \dfrac{7}{4}\). Giá trị của \(f\left( 4 \right)\) bằng

A. \(\dfrac{{40\sqrt 5 - 1}}{2}\)

B. \(\dfrac{{20\sqrt 5 - 1}}{4}\)

C. \(\dfrac{{20\sqrt 5 - 1}}{2}\)

D. \(\dfrac{{40\sqrt 5 - 1}}{4}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:548403

Phương pháp giải

Biến đổi: \(4{x^3}f\left( x \right) = {\left[ {f'\left( x \right)} \right]^3} - {x^3} \Leftrightarrow {x^3}\left[ {4f\left( x \right) + 1} \right] = {\left[ {f'\left( x \right)} \right]^3}\)

\( \Leftrightarrow x\sqrt[3]{{4f\left( x \right) + 1}} = f'\left( x \right) \Leftrightarrow \dfrac{{f'\left( x \right)}}{{\sqrt[3]{{4f\left( x \right) + 1}}}} = x\)

Từ đó lấy nguyên hàm hai vế, từ \(f\left( 2 \right) = \dfrac{7}{4}\) ta tính được \(C\).

Giải chi tiết

Ta có: \(f'\left( x \right) > 0,\,\forall x \in \left[ {2;4} \right]\) nên hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left[ {2;4} \right]\)

\( \to f\left( x \right) \ge f\left( 2 \right)\) mà \(f\left( 2 \right) = \dfrac{7}{4}\).

Do đó \(f\left( x \right) > 0,\,\forall x \in \left[ {2;4} \right]\)

Từ giả thiết ta có: \(4{x^3}f\left( x \right) = {\left[ {f'\left( x \right)} \right]^3} - {x^3} \Leftrightarrow {x^3}\left[ {4f\left( x \right) + 1} \right] = {\left[ {f'\left( x \right)} \right]^3}\)

\( \Leftrightarrow x\sqrt[3]{{4f\left( x \right) + 1}} = f'\left( x \right) \Leftrightarrow \dfrac{{f'\left( x \right)}}{{\sqrt[3]{{4f\left( x \right) + 1}}}} = x\)

Suy ra: \(\int {\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{\sqrt[3]{{4f\left( x \right) + 1}}}}dx} = \int {xdx} \Leftrightarrow \dfrac{1}{4}\int {\dfrac{{d\left[ {4f\left( x \right) + 1} \right]}}{{\sqrt[3]{{4f\left( x \right) + 1}}}} = \dfrac{{{x^2}}}{2} + C} \)\( \Leftrightarrow \dfrac{3}{8}\sqrt[3]{{{{\left[ {4f\left( x \right) + 1} \right]}^2}}} = \dfrac{{{x^2}}}{2} + C\)

\(f\left( 2 \right) = \dfrac{7}{4} \Leftrightarrow \dfrac{3}{2} = 2 + C \Leftrightarrow C = - \dfrac{1}{2}\)

Vậy \(f\left( x \right) = \dfrac{{\sqrt {{{\left[ {\dfrac{4}{3}\left( {{x^2} - 1} \right)} \right]}^3} - 1} }}{4} \Rightarrow f\left( 4 \right) = \dfrac{{40\sqrt 5 - 1}}{4}\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.