Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm cấp hai trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\) đồng

Câu hỏi số 548404:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm cấp hai trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\) đồng thời thỏa mãn các điều kiện \(f'\left( 0 \right) = - 1;\,f'\left( x \right) < 0,\,{\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2} = f''\left( x \right),\,\forall x \in \left[ {0;1} \right]\). Giá trị \(f\left( 0 \right) - f\left( 1 \right)\) thuộc khoảng

A. \(\left( {1;2} \right)\)

B. \(\left( { - 1;0} \right)\)

C. \(\left( {0;1} \right)\)

D. \(\left( { - 2; - 1} \right)\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:548404

Phương pháp giải

Biến đổi \({\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2} = f''\left( x \right) \Leftrightarrow \dfrac{{f''\left( x \right)}}{{{{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}}} = 1 \Leftrightarrow \int {\dfrac{{f''\left( x \right)}}{{{{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}}}dx} = \int {dx} \Leftrightarrow \dfrac{{ - 1}}{{f'\left( x \right)}} = x + C\)

Từ \(f'\left( 0 \right) = - 1\) ta tính được \(C\), từ đó tìm được \(f'\left( x \right)\).

Giải chi tiết

Ta có: \({\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2} = f''\left( x \right) \Leftrightarrow \dfrac{{f''\left( x \right)}}{{{{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}}} = 1 \Leftrightarrow \int {\dfrac{{f''\left( x \right)}}{{{{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}}}dx} = \int {dx} \Leftrightarrow \dfrac{{ - 1}}{{f'\left( x \right)}} = x + C\)

\(f'\left( 0 \right) = - 1 \Rightarrow \dfrac{{ - 1}}{{ - 1}} = 0 + C \Leftrightarrow C = 1 \Rightarrow \dfrac{{ - 1}}{{f'\left( x \right)}} = x + 1 \Leftrightarrow f'\left( x \right) = - \dfrac{1}{{x + 1}}\)

\(f\left( 0 \right) - f\left( 1 \right) = \int\limits_1^0 {f'\left( x \right)dx} = \int\limits_1^0 {\dfrac{{ - 1}}{{x + 1}}dx} = \left. { - \ln \left| {x + 1} \right|} \right|_1^0 = \ln 2\, \in \left( {0;1} \right)\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.