Trong mặt phẳng \(\left( P \right)\) cho hình vuông \(ABCD\) có cạnh là \(a\). Qua tâm \(O\) của hình

Câu hỏi số 548646:

Vận dụng

Trong mặt phẳng \(\left( P \right)\) cho hình vuông \(ABCD\) có cạnh là \(a\). Qua tâm \(O\) của hình vuông ta kẻ đường thẳng \(d\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\). Lấy điểm \(S \in d\) sao cho \(SO = a\).

a) Chứng minh rằng: \(S.ABCD\) là hình chóp đều.

b) Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình chóp \(S.ABCD\)

c) Với giá trị nào của \(SO\) thì các mặt bên của hình chóp \(S.ABCD\) là các tam giác đều.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:548646

Phương pháp giải

a) + Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều, các mặt bên là các tam giác cân bằng nhau có chung đỉnh.

+ Trong hình chóp đều chân đường cao trùng với tâm của đáy.

\(\Delta SOA = \Delta SOB = \Delta SOC = \Delta SOD(c.g.c) \Rightarrow SA = SB = SC = SD\).

Mà \(ABCD\) là hình vuông (gt)

\( \Rightarrow S.ABCD\) là hình chóp tứ giác đều.

b) Đoạn thẳng nối từ đỉnh của hình chóp tới trung điểm của cạnh đáy gọi là trung đoạn của hình chóp.

\(\begin{array}{l}{S_{xq}} = p.d;\quad {S_{tp}} = {S_d} + {S_{xq}}\\V = \dfrac{1}{3}{S_d}.h\end{array}\)

c) Nếu các mặt bên là tam giác đều \( \Rightarrow SA = a \Rightarrow SO = \dfrac{a}{{\sqrt 2 }}\)

Giải chi tiết

a) Ta có: \(d \bot \left( P \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}d \bot BD = \left\{ O \right\}\\d \bot AC = \left\{ O \right\}\end{array} \right. \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\)

Vì \(SO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SO \bot AO \Rightarrow \Delta SOA\) vuông tại \(O\).

Chứng minh tương tự ta có: \(\Delta SOB,\Delta SOC,\Delta SOD\) đều là tam giác vuông tại \(O\).

\(\Delta SOA = \Delta SOB = \Delta SOC = \Delta SOD(c.g.c) \Rightarrow SA = SB = SC = SD\).

Mà \(ABCD\) là hình vuông (gt)

\( \Rightarrow S.ABCD\) là hình chóp tứ giác đều.

b) Vì \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\)\( \Rightarrow OA = OB = OC = OD = a\sqrt 2 \) (có thể dùng định lí Py - ta - go để kiểm tra)

Gọi \(I\) là trung điểm của \(CD\left( {I \in CD} \right) \Rightarrow SI\)là trung đoạn của hình chóp \(S.ABCD\).

Áp dụng định lí Py - ta - go vào \(\Delta SOI\) vuông tại \(O\), ta có: \(S{I^2} = S{O^2} + O{I^2} \Rightarrow SI = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}\)

\(\begin{array}{l}{S_{xp}} = {a^2}\sqrt 5 \\{S_{tp}} = {S_{ABCD}} + {S_{xq}} = {a^2}\left( {1 + \sqrt 5 } \right)\\V = \dfrac{1}{3}.{S_{ABCD}}.SO = \dfrac{{{a^3}}}{3}\end{array}\)

c) Giả sử các mặt của hình chóp là các tam giác đều \( \Rightarrow SA = a\)

Áp dụng định lí Py - ta - go vào \(\Delta SOA\) vuông tại \(O\) ta có: \(S{A^2} = S{O^2} + A{O^2} \Rightarrow S{O^2} = S{A^2} - O{A^2} \Rightarrow SO = \dfrac{a}{{\sqrt 2 }}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link