Cho \(m\) và \(n\) là các số dương thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt

Câu hỏi số 548782:

Vận dụng

Cho \(m\) và \(n\) là các số dương thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {4{x^2} + mx + 2n} + \sqrt[3]{{8{x^3} + n{x^2} - 5m}}} \right) = \dfrac{5}{{12}}\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \,\dfrac{{{m^2} + n + 1}}{{m + 1}}\)

A. \(3\)

B. \(5\).

C. \(2\).

D. \(4\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:548782

Phương pháp giải

Để tìm giới hạn dạng \(\infty - \,\infty \), thông thường ta sẽ nhân với biểu thức liên hợp của tử (hoặc mẫu). Sau đó, rút gọn và chia cả tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất của tử và mẫu.

Bất đẳng thức Cô- si cho hai số dương \(a,\,\,b:\,\,\,a + b\, \ge 2\sqrt {a.b} \).

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {4{x^2} + mx + 2n} + \sqrt[3]{{8{x^3} + n{x^2} - 5m}}} \right)\\ = \,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {4{x^2} + mx + 2n} + 2x + \sqrt[3]{{8{x^3} + n{x^2} - 5m}} - 2x} \right)\\ = \,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {4{x^2} + mx + 2n} + 2x} \right) + \,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt[3]{{8{x^3} + n{x^2} - 5m}} - 2x} \right)\\ = \,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{4{x^2} + mx + 2n - 4{x^2}}}{{\sqrt {4{x^2} + mx + 2n} - 2x}} + \,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{8{x^3} + n{x^2} - 5m - 8{x^3}}}{{{{\left( {\sqrt[3]{{8{x^3} + n{x^2} - 5m}}} \right)}^2} + \sqrt[3]{{8{x^3} + n{x^2} - 5m}}.2x + 4{x^2}}}\end{array}\)

\(\begin{array}{l} = \,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{mx + 2n}}{{ - x\sqrt {4 + \dfrac{m}{x} + \dfrac{{2n}}{{{x^2}}}} - 2x}} + \,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{n{x^2} - 5m}}{{{x^2}{{\left( {\sqrt[3]{{8 + \dfrac{n}{x} - \dfrac{{5m}}{{{x^2}}}}}} \right)}^2} + {x^2}.2\sqrt[3]{{8 + \dfrac{n}{x} - \dfrac{{5m}}{{{x^2}}}}} + 4{x^2}\,}}\\ = \,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{m + \dfrac{{2n}}{x}}}{{ - \sqrt {4 + \dfrac{m}{x} + \dfrac{{2n}}{{{x^2}}}} - 2}} + \,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{n - \dfrac{{5m}}{{{x^2}}}}}{{{{\left( {\sqrt[3]{{8 + \dfrac{n}{x} - \dfrac{{5m}}{{{x^2}}}}}} \right)}^2} + 2\sqrt[3]{{8 + \dfrac{n}{x} - \dfrac{{5m}}{{{x^2}}}}} + 4\,}}\\ = \dfrac{m}{{ - 4}} + \dfrac{n}{{{2^2} + 2.2 + 4}} = \dfrac{{ - m}}{4} + \dfrac{n}{{12}} = \dfrac{5}{{12}}\end{array}\)

\( \Rightarrow - 3m + n = 5 \Rightarrow n = 3m + 5\).

Khi đó, \(P = \,\dfrac{{{m^2} + n + 1}}{{m + 1}} = \,\dfrac{{{m^2} + 3m + 5 + 1}}{{m + 1}} = \,m + 2 + \dfrac{4}{{m + 1}}\)

\( = m + 1 + \dfrac{4}{{m + 1}} + 1 \ge 2.\sqrt {\left( {m + 1} \right).\dfrac{4}{{m + 1}}} + 1 = 5\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.