Cho \(m\) và \(n\) là các số dương thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt

Câu hỏi số 548782:

Vận dụng

Cho \(m\) và \(n\) là các số dương thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {4{x^2} + mx + 2n} + \sqrt[3]{{8{x^3} + n{x^2} - 5m}}} \right) = \dfrac{5}{{12}}\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \,\dfrac{{{m^2} + n + 1}}{{m + 1}}\)

A. \(3\)

B. \(5\).

C. \(2\).

D. \(4\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:548782

Phương pháp giải

Để tìm giới hạn dạng \(\infty - \,\infty \), thông thường ta sẽ nhân với biểu thức liên hợp của tử (hoặc mẫu). Sau đó, rút gọn và chia cả tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất của tử và mẫu.

Bất đẳng thức Cô- si cho hai số dương \(a,\,\,b:\,\,\,a + b\, \ge 2\sqrt {a.b} \).

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {4{x^2} + mx + 2n} + \sqrt[3]{{8{x^3} + n{x^2} - 5m}}} \right)\\ = \,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {4{x^2} + mx + 2n} + 2x + \sqrt[3]{{8{x^3} + n{x^2} - 5m}} - 2x} \right)\\ = \,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {4{x^2} + mx + 2n} + 2x} \right) + \,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt[3]{{8{x^3} + n{x^2} - 5m}} - 2x} \right)\\ = \,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{4{x^2} + mx + 2n - 4{x^2}}}{{\sqrt {4{x^2} + mx + 2n} - 2x}} + \,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{8{x^3} + n{x^2} - 5m - 8{x^3}}}{{{{\left( {\sqrt[3]{{8{x^3} + n{x^2} - 5m}}} \right)}^2} + \sqrt[3]{{8{x^3} + n{x^2} - 5m}}.2x + 4{x^2}}}\end{array}\)

\(\begin{array}{l} = \,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{mx + 2n}}{{ - x\sqrt {4 + \dfrac{m}{x} + \dfrac{{2n}}{{{x^2}}}} - 2x}} + \,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{n{x^2} - 5m}}{{{x^2}{{\left( {\sqrt[3]{{8 + \dfrac{n}{x} - \dfrac{{5m}}{{{x^2}}}}}} \right)}^2} + {x^2}.2\sqrt[3]{{8 + \dfrac{n}{x} - \dfrac{{5m}}{{{x^2}}}}} + 4{x^2}\,}}\\ = \,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{m + \dfrac{{2n}}{x}}}{{ - \sqrt {4 + \dfrac{m}{x} + \dfrac{{2n}}{{{x^2}}}} - 2}} + \,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{n - \dfrac{{5m}}{{{x^2}}}}}{{{{\left( {\sqrt[3]{{8 + \dfrac{n}{x} - \dfrac{{5m}}{{{x^2}}}}}} \right)}^2} + 2\sqrt[3]{{8 + \dfrac{n}{x} - \dfrac{{5m}}{{{x^2}}}}} + 4\,}}\\ = \dfrac{m}{{ - 4}} + \dfrac{n}{{{2^2} + 2.2 + 4}} = \dfrac{{ - m}}{4} + \dfrac{n}{{12}} = \dfrac{5}{{12}}\end{array}\)

\( \Rightarrow - 3m + n = 5 \Rightarrow n = 3m + 5\).

Khi đó, \(P = \,\dfrac{{{m^2} + n + 1}}{{m + 1}} = \,\dfrac{{{m^2} + 3m + 5 + 1}}{{m + 1}} = \,m + 2 + \dfrac{4}{{m + 1}}\)

\( = m + 1 + \dfrac{4}{{m + 1}} + 1 \ge 2.\sqrt {\left( {m + 1} \right).\dfrac{4}{{m + 1}}} + 1 = 5\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.