Cho hàm số \(y = \,\dfrac{{x + b}}{{ax - 2}}\) với \(a,b\) là các tham số \(\left( {ab \ne - 2}

Câu hỏi số 548802:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = \,\dfrac{{x + b}}{{ax - 2}}\) với \(a,b\) là các tham số \(\left( {ab \ne - 2} \right)\). Biết rằng đồ thị hàm số đi qua các điểm \(A\left( {1; - 2} \right)\) và tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(A\) song song với đường thẳng \(d:\,\,3x + y - 4 = 0\). Giá trị của

\(a - 3b\) bằng:

A. \(4\)

B. \(5\).

C. \( - 1\).

D. \( - 2\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:548802

Phương pháp giải

+ Nếu đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) đi qua điểm \(A\left( {{x_0};\,\,{y_0}} \right)\) thì \({y_0} = f\left( {{x_0}} \right)\).

+ Hai đường thẳng \(y = ax + b;\,y = a'x + b'\) song song với nhau khi \(a = a';\,\,b\, \ne b'\).

Giải chi tiết

Vì đồ thị hàm số đi qua điểm \(A\left( {1; - 2} \right)\) nên \( - 2 = \,\dfrac{{1 + b}}{{a - 2}} \Leftrightarrow - 2a + 4 = 1 + b \Leftrightarrow 2a + b = 3\,\,\left( 1 \right)\).

\(y' = \,\dfrac{{\left( {x + b} \right)'.\left( {ax - 2} \right) - \left( {x + b} \right)\left( {ax - 2} \right)'}}{{{{\left( {ax - 2} \right)}^2}}} = \,\dfrac{{1.\left( {ax - 2} \right) - \left( {x + b} \right).a}}{{{{\left( {ax - 2} \right)}^2}}} = \,\dfrac{{ - 2 - ab}}{{{{\left( {ax - 2} \right)}^2}}}\)

Phương trình tiếp tuyến tại \(A\) là:

\(y = \,\dfrac{{ - 2 - ab}}{{{{\left( {a - 2} \right)}^2}}}.\,\left( {x - 1} \right) - 2 = \,\dfrac{{ - 2 - ab}}{{{{\left( {a - 2} \right)}^2}}}x + \dfrac{{2 + ab}}{{{{\left( {a - 2} \right)}^2}}} - 2\)

Vì tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(A\) song song với đường thẳng \(d:\,\,3x + y - 4 = 0 \Leftrightarrow y = - 3x + 4\) nên:

\(y'\left( 1 \right) = \, - 3\,\) và \(\dfrac{{2 + ab}}{{{{\left( {a - 2} \right)}^2}}} - 2 \ne 4\,\,\left( * \right)\)

\(\begin{array}{l}y'\left( 1 \right) = \, - 3\, \Rightarrow \dfrac{{ - 2 - ab}}{{{{\left( {a.1 - 2} \right)}^2}}} = - 3;\,\,\\ \Rightarrow - 2 - ab = - 3{\left( {a - 2} \right)^2} = - 3{a^2} + 12a - 12\\ \Leftrightarrow 3{a^2} - ab - 12a = - 10\,\,(2)\end{array}\)

Từ \(\left( 1 \right) \Rightarrow b = 3 - 2a\) thay vào \(\left( 2 \right)\) ta được:

\(\begin{array}{l}3{a^2} - a\left( {3 - 2a} \right) - 12a = - 10\,\,\\ \Leftrightarrow 3{a^2} - 3a + 2{a^2} - 12a = - 10\,\\ \Leftrightarrow 5{a^2} - 15a + 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 1 \Rightarrow b = 1}\\{a = 2 \Rightarrow b = - 1}\end{array}} \right.\,\end{array}\)

Kết hợp điều kiện \(ab \ne - 2 \Rightarrow a = 1;b = 1 \Rightarrow a - 3b = - 2\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.