Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d:\,\,\dfrac{{x + 1}}{{ - 2}} = \dfrac{y}{{ - 1}} = \dfrac{{z -

Câu hỏi số 549613:

Vận dụng

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d:\,\,\dfrac{{x + 1}}{{ - 2}} = \dfrac{y}{{ - 1}} = \dfrac{{z - 2}}{1}\) và hai điểm A(-1;3;1), B(0;2;-1). Tìm tọa độ điểm C thuộc d sao cho diện tích của tam giác ABC nhỏ nhất.

A. C(1;1;1)

B. C(-3;-1;3)

C. C(-5;-2;4)

D. C(-1;0;2)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:549613

Phương pháp giải

- Tham số hóa tọa độ điểm C thuộc đường thẳng d theo biến t.

- Sử dụng công thức \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AB} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|}}\).

- Đưa về dạng hằng đẳng thức và tìm GTNN của diện tích tam giác.

Giải chi tiết

Vì AB không đổi nên diện tích tam giác ABC nhỏ nhất thì khoảng cách từ C đến AB nhỏ nhất.

Gọi C(-1 - 2t; -t; 2 + t) thuộc đường thẳng d.

Ta có: \(\overrightarrow {AC} = \left( { - 2t; - t - 3;t + 1} \right),\,\,\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 1; - 2} \right)\) \( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AB} } \right] = \left( {3t + 7; - 3t + 1;3t + 3} \right)\).

\( \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AB} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|}} = \dfrac{{\sqrt {27{t^2} + 54t + 59} }}{{\sqrt 6 }}\).

Ta có: \(27{t^2} + 54t + 59 = 27\left( {{t^2} + 2t + 1} \right) + 32 = 27{\left( {t + 1} \right)^2} + 32 \ge 32\).

\( \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} \ge \dfrac{{\sqrt {32} }}{{\sqrt 6 }} = \dfrac{{4\sqrt 3 }}{3}\). Dấu “=” xảy ra khi \(t = - 1\).

Vậy C(1;1;1).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.