Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \({\bf{R}}\). Biết \(f\left( 3 \right) =

Câu hỏi số 549708:

Thông hiểu

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \({\bf{R}}\). Biết \(f\left( 3 \right) = 1\) và \(\int\limits_0^1 {xf\left( {3x} \right)dx} = 1\), khi đó \(\int\limits_0^3 {{x^2}f'\left( x \right)dx} \) bằng

A. \(\dfrac{{25}}{3}\)

B. \(3\)

C. \(7\)

D. \( - 9\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:549708

Phương pháp giải

Giải chi tiết

Đặt \(t = 3x \Rightarrow dt = 3dx \Rightarrow dx = \dfrac{1}{3}dt\)

Suy ra \(1 = \int\limits_0^1 {xf\left( {3x} \right)dx} = \dfrac{1}{9}\int\limits_0^3 {tf\left( t \right)dt} \Leftrightarrow \int\limits_0^3 {tf\left( t \right)dt} = 9\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = f\left( t \right)\\dv = tdt\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = f'\left( t \right)dt\\v = \dfrac{{{t^2}}}{2}\end{array} \right.\)

\(\int\limits_0^3 {tf\left( t \right)dt} = \left. {\dfrac{{{t^2}}}{2}f\left( t \right)} \right|_0^3 - \int\limits_0^3 {\dfrac{{{t^2}}}{2}f'\left( t \right)dt} = \dfrac{9}{2}f\left( 3 \right) - \dfrac{1}{2}\int\limits_0^3 {{t^2}f'\left( t \right)dt} \)

\( \Leftrightarrow 9 = \dfrac{9}{2} - \dfrac{1}{2}\int\limits_0^3 {{t^2}f'\left( t \right)dt} \Leftrightarrow \int\limits_0^3 {{t^2}f'\left( t \right)dt} = - 9\)

Vậy \(\int\limits_0^3 {{x^2}f'\left( x \right)dx} = - 9\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.