Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\left[ {0;1} \right]\) thỏa mãn

Câu hỏi số 549709:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\left[ {0;1} \right]\) thỏa mãn \(\int\limits_0^1 {{x^2}f\left( x \right)dx} = - \dfrac{1}{{21}},\,f\left( 1 \right) = 0\) và \(\int\limits_0^1 {{{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}dx} = \dfrac{1}{7}\). Giá trị của \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \) bằng

A. \(\dfrac{5}{{12}}\)

B. \( - \dfrac{1}{5}\)

C. \(\dfrac{4}{5}\)

D. \( - \dfrac{7}{{10}}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:549709

Phương pháp giải

Giải chi tiết

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = f\left( x \right)\\dv = {x^2}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = f'\left( x \right)dx\\v = \dfrac{{{x^3}}}{3}\end{array} \right.\)’

\( - \dfrac{1}{{21}} = \int\limits_0^1 {{x^2}f\left( x \right)dx} = \left. {\dfrac{{{x^3}}}{3}f\left( x \right)} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^3}}}{3}f'\left( x \right)dx} = - \dfrac{1}{3}\int\limits_0^1 {{x^3}f'\left( x \right)dx} \)\( \Rightarrow \int\limits_0^1 {{x^3}f'\left( x \right)dx} = \dfrac{1}{7}\)

\(\int\limits_0^1 {{{\left( {{x^3} - f'\left( x \right)} \right)}^2}dx} = \int\limits_0^1 {{x^6}dx} - 2\int\limits_0^1 {{x^3}f'\left( x \right)dx} + \int\limits_0^1 {{{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}dx} = \dfrac{1}{7} - 2.\dfrac{1}{7} + \dfrac{1}{7} = 0\)

\( \Rightarrow {\left( {f'\left( x \right) - {x^3}} \right)^2} = 0,\,\forall x \in \left[ {0;1} \right] \Rightarrow f'\left( x \right) = {x^3},\,\forall x \in \left[ {0;1} \right]\)

Kết hợp điều kiện \(f\left( 1 \right) = 0\) ta có: \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{4}\left( {{x^4} - 1} \right),\,\forall x \in \left[ {0;1} \right]\)

Vậy \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^1 {\dfrac{1}{4}\left( {{x^4} - 1} \right)dx} = \dfrac{1}{4}\int\limits_0^1 {\left( {{x^4} - 1} \right)dx} = - \dfrac{1}{5}\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.