Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\) thỏa mãn

Câu hỏi số 549713:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\) thỏa mãn \(f\left( 1 \right) = 4,\,\int\limits_0^1 {{{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}dx} = 36\) và \(\int\limits_0^1 {xf\left( x \right)dx} = \dfrac{1}{5}\). Tích phân \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \) bằng

A. \(\dfrac{5}{6}\)

B. \(\dfrac{3}{2}\)

C. \(4\)

D. \(\dfrac{2}{3}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:549713

Phương pháp giải

Giải chi tiết

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = f\left( x \right)\\dv = xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = f'\left( x \right)dx\\v = \dfrac{{{x^2}}}{2}\end{array} \right.\)

Khi đó \(\dfrac{1}{5} = \left. {\dfrac{{{x^2}}}{2}.f\left( x \right)} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}}}{2}f'\left( x \right)dx} \)

\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{5} = 2 - \dfrac{1}{2}\int\limits_0^1 {{x^2}f'\left( x \right)dx} \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {{x^2}f'\left( x \right)dx} = \dfrac{{18}}{5}\)

Ta có:

\(\int\limits_0^1 {{x^4}dx} = \dfrac{1}{5}\)\( \Rightarrow 100\int\limits_0^1 {{x^4}dx} = 20\)

\(\int\limits_0^1 {{{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}dx} = 36\)

\(10\int\limits_0^1 {{x^2}f'\left( x \right)dx} = 36\)

Khi đó \(\int\limits_0^1 {{{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}dx} = 10\int\limits_0^1 {{x^2}f'\left( x \right)dx} \)

Suy ra \(\int\limits_0^1 {\left[ {10{x^2}f'\left( x \right) - {{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}} \right]dx} = 0 \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {f'\left( x \right)} \left[ {10{x^2} - f'\left( x \right)} \right]dx = 0\)

\( \Rightarrow 10{x^2} - f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f'\left( x \right) = 10{x^2} \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{{10{x^3}}}{3} + C\)

Với \(f\left( 1 \right) = 4 \Rightarrow 4 = \dfrac{{10.1}}{3} + C \Rightarrow C = \dfrac{2}{3}\)

Khi đó: \(f\left( x \right) = \dfrac{{10{x^3}}}{3} + \dfrac{2}{3}\)

Vậy \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^1 {\left( {\dfrac{{10{x^3}}}{3} + \dfrac{2}{3}} \right)dx} = \left. {\left( {\dfrac{{5{x^4}}}{6} + \dfrac{2}{3}x} \right)} \right|_0^1 = \dfrac{3}{2}\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.