Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\) thỏa mãn

Câu hỏi số 549718:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\) thỏa mãn \(f\left( 1 \right) = 2,\,\int\limits_0^1 {{{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}dx} = 8\) và \(\int\limits_0^1 {{x^3}f\left( x \right)} = 10\). Tích phân \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \) bằng

A. \( - \dfrac{2}{{285}}\)

B. \(\dfrac{{194}}{{95}}\)

C. \(\dfrac{{116}}{{57}}\)

D. \(\dfrac{{584}}{{285}}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:549718

Phương pháp giải

Giải chi tiết

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = f\left( x \right)\\dv = {x^3}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = f'\left( x \right)dx\\v = \dfrac{1}{4}{x^4}\end{array} \right.\)

Ta có: \(I = \left. {\dfrac{1}{4}{x^4}.f\left( x \right)} \right|_0^1 - \dfrac{1}{4}\int\limits_0^1 {{x^4}f'\left( x \right)dx} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4}\int\limits_0^1 {{x^4}f'\left( x \right)dx} \) (vì \(f\left( 1 \right) = 2\))

Theo giả thiết: \(\int\limits_0^1 {{x^3}f\left( x \right)dx} = 10\, \Rightarrow \int\limits_0^1 {{x^4}f'\left( x \right)dx} = - 38\)

\( \Leftrightarrow 8\int\limits_0^1 {{x^4}f'\left( x \right)dx} = - 38.8 \Leftrightarrow 8\int\limits_0^1 {{x^4}f'\left( x \right)dx} = - 38.\int\limits_0^1 {{{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}dx} \)

\( \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {\left( {8{x^4}f'\left( x \right) + 38{{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}} \right)dx} = 0\)

\( \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {f'\left( x \right)\left[ {8{x^4} + 38f'\left( x \right)} \right]dx} = 0\)

\( \Rightarrow 8{x^4} + 38f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f'\left( x \right) = - \dfrac{4}{{19}}{x^4} \Rightarrow f\left( x \right) = - \dfrac{4}{{95}}{x^5} + C\)

Với \(f\left( 1 \right) = 2\, \Rightarrow \,C = \dfrac{{194}}{{95}}\)

Khi đó: \(f\left( x \right) = - \dfrac{4}{{95}}{x^5} + \dfrac{{194}}{{95}}\)

Vậy \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^1 {\left( { - \dfrac{4}{{95}}{x^5} + \dfrac{{194}}{{95}}} \right)dx} = \left. {\left( { - \dfrac{2}{{285}}{x^6} + \dfrac{{194}}{{95}}x} \right)} \right|_0^1 = \dfrac{{116}}{{57}}\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.