Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {0;1}

Câu hỏi số 549719:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\) thỏa mãn \(f\left( 1 \right) = 0;\,\int\limits_0^1 {{{\left( {f'\left( x \right)} \right)}^2}dx} = \dfrac{{{\pi ^2}}}{8}\) và \(\int\limits_0^1 {cos\left( {\dfrac{\pi }{2}x} \right)f\left( x \right)dx} = \dfrac{1}{2}\). Tính \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \).

A. \(\dfrac{\pi }{2}\)

B. \(\pi \)

C. \(\dfrac{1}{\pi }\)

D. \(\dfrac{2}{\pi }\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:549719

Phương pháp giải

Giải chi tiết

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = f\left( x \right)\\dv = cos\dfrac{{\pi x}}{2}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = f'\left( x \right)dx\\v = \dfrac{2}{\pi }\sin \,\dfrac{{\pi x}}{2}\end{array} \right.\)

Do đó: \(\int\limits_0^1 {cos\left( {\dfrac{\pi }{2}x} \right)f\left( x \right)dx} = \dfrac{1}{2}\)

\( \Leftrightarrow \left. {\dfrac{2}{\pi }\sin \dfrac{{\pi x}}{2}f\left( x \right)} \right|_0^1 - \dfrac{2}{\pi }\int\limits_0^1 {\sin \left( {\dfrac{\pi }{2}x} \right)f'\left( x \right)dx} = \dfrac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {\sin \left( {\dfrac{\pi }{2}x} \right)f'\left( x \right)dx} = - \dfrac{\pi }{4}\)

Lại có: \(\int\limits_0^1 {{{\sin }^2}\left( {\dfrac{\pi }{2}x} \right)dx} = \dfrac{1}{2}\)

\( \Rightarrow I = \int\limits_0^1 {{{\left( { - \dfrac{2}{\pi }f'\left( x \right)} \right)}^2}dx} - 2\left( { - \dfrac{2}{\pi }} \right)\int\limits_0^1 {\sin \left( {\dfrac{\pi }{2}x} \right)f'\left( x \right)dx + \int\limits_0^1 {{{\sin }^2}x\left( {\dfrac{\pi }{2}x} \right)dx} } \)

\( = \int\limits_0^1 {{{\left( { - \dfrac{2}{\pi }f'\left( x \right) - \sin \left( {\dfrac{\pi }{2}x} \right)} \right)}^2}dx} = \dfrac{4}{{{\pi ^2}}}.\dfrac{{{\pi ^2}}}{8} - \dfrac{2}{\pi }.\dfrac{\pi }{2} + \dfrac{1}{2} = 0\)

Vì \(\int\limits_0^1 {{{\left( { - \dfrac{2}{\pi }f'\left( x \right) - \sin \left( {\dfrac{\pi }{2}x} \right)} \right)}^2}dx} = \dfrac{4}{{{\pi ^2}}}.\dfrac{{{\pi ^2}}}{8} - \dfrac{2}{\pi }.\dfrac{\pi }{2} + \dfrac{1}{2} = 0\)

Suy ra \( - \dfrac{2}{\pi }f'\left( x \right) = \sin \left( {\dfrac{\pi }{2}x} \right) \Leftrightarrow f'\left( x \right) = - \dfrac{\pi }{2}\sin \left( {\dfrac{\pi }{2}x} \right)\)

\( \Rightarrow f\left( x \right) = cos\left( {\dfrac{\pi }{2}x} \right) + C\) mà \(f\left( 1 \right) = 0\).

Do đó \(f\left( x \right) = \cos \left( {\dfrac{\pi }{2}x} \right)\)

Vậy \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^1 {cos\left( {\dfrac{\pi }{2}x} \right)dx} = \dfrac{2}{\pi }\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.