Giả sử hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục, nhận giá trị dương trên \(\left( {0; + \infty }

Câu hỏi số 549884:

Vận dụng

Giả sử hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục, nhận giá trị dương trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) và thỏa mãn \(f\left( 1 \right) = e\)\(f\left( x \right) = f'\left( x \right).\sqrt {3x + 1} ,\,\,\forall x > 0\) Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. \(3 < f\left( 5 \right) < 4\).

B. \(11 < f\left( 5 \right) < 12\).

C. \(10 < f\left( 5 \right) < 11\).

D. \(4 < f\left( 5 \right) < 5\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:549884

Phương pháp giải

- Biến đổi về dạng \(\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} = \dfrac{1}{{\sqrt {3x + 1} }}\).

- Sử dụng phương pháp lấy nguyên hàm hai vế, tìm hàm số \(f\left( x \right)\) sau đó tính \(f\left( 5 \right)\).

Giải chi tiết

Ta có: \(f\left( x \right) = f'\left( x \right).\sqrt {3x + 1} \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} = \dfrac{1}{{\sqrt {3x + 1} }},\,\,\forall x > 0\\ \Rightarrow \int {\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}dx = \int {\dfrac{1}{{\sqrt {3x + 1} }}dx} } \\ \Rightarrow \ln f\left( x \right) = \dfrac{2}{3}\sqrt {3x + 1} + C\\ \Rightarrow f\left( x \right) = {e^{\frac{2}{3}\sqrt {3x + 1} + C}}\end{array}\)

Mặt khác \(f\left( 1 \right) = e \Rightarrow {e^{\frac{4}{3} + C}} = e \Leftrightarrow C = - \dfrac{1}{3}\).

Khi đó \(f\left( x \right) = {e^{\frac{2}{3}\sqrt {3x + 1} - \frac{1}{3}}}\)

Vậy \(f\left( 5 \right) = {e^{\frac{2}{3}\sqrt {3.5 + 1} - \frac{1}{3}}} = {e^{\frac{7}{3}}} \approx 10,3\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.