Biết rằng tập tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) đề phương trình \(m\left( {x + 4}

Câu hỏi số 549887:

Vận dụng cao

Biết rằng tập tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) đề phương trình \(m\left( {x + 4} \right)\sqrt {{x^2} + 2} = 5{x^2} + 8x + 24\) có 4 nghiệm thực phân biệt là khoảng \(\left( {a;b} \right)\). Giá trị \(a + b\) bằng

A. \(\dfrac{{28}}{3}\)

B. \(\dfrac{{25}}{3}\).

C. \(4\).

D. \(9\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:549887

Phương pháp giải

- Đặt ẩn phụ \(a = x + 4,\,\,b = \sqrt {{x^2} + 2} \)

- Biện luận phương trình.

Giải chi tiết

Xét \(x = - 4\) không thỏa mãn phương trình.

Đặt \(a = x + 4 \ne 0,\,\,b = \sqrt {{x^2} + 2} > 0\).

Phương trình trở thành \(mab = {a^2} + 4{b^2}\)\( \Leftrightarrow m = \dfrac{a}{b} + 4\dfrac{b}{a}\)

Đặt \(t = \dfrac{a}{b} \ne 0\) ta được \(m = t + \dfrac{4}{t}\,\,\left( * \right)\)

Ta có: \(t = \dfrac{{x + 4}}{{\sqrt {{x^2} + 2} }} \Rightarrow t' = \dfrac{{2 - 4x}}{{{{\left( {\sqrt {{x^2} + 2} } \right)}^3}}}\)

Cho \(t' = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2}\). Ta có BBT:

Dựa vào bảng biến thiên ta có \(t \in \left( { - 1;3} \right]\) và với mỗi \(t \in \left( {1;3} \right)\) sẽ cho 2 nghiệm thực phân biệt.

Xét \(f\left( t \right) = t + \dfrac{4}{t}\,\,,t \ne 0\) \( \Rightarrow f'\left( t \right) = 1 - \dfrac{4}{{{t^2}}}\)

Cho \(f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 2 \in \left( { - 1;3} \right)\).

Ta có BBT:

Để phương trình đã cho có 4 nghiệm thực phân biệt thì (*) phải cho 2 nghiệm phân biệt thuộc \(\left( {1;3} \right)\) \( \Leftrightarrow m \in \left( {4;\dfrac{{13}}{3}} \right)\).

Khi đó \(a = 4,\,\,b = \dfrac{{13}}{3} \Rightarrow a + b = 4 + \dfrac{{13}}{3} = \dfrac{{25}}{3}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.