Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AB = a,\;AD = b\). \(M,N\) lần lượt là hai điểm trên

Câu hỏi số 549927:

Vận dụng cao

Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AB = a,\;AD = b\). \(M,N\) lần lượt là hai điểm trên cạnh \(AB,BC\). Mặt phẳng \(\left( {MDD'} \right)\) cắt \(A'B'\) tại \(M'\), mặt phẳng \(\left( {NDD'} \right)\) cắt \(B'C'\) tại \(N'\). Các mặt phẳng đó chia hình hộp chữ nhật thành ba phần bằng nhau và có thể tích bằng nhau.

a) Tính độ dài \(AM,CN\) theo \(a,b\).

b) Tính tỉ số thể tích hai hình lăng trụ đứng \(DMN.D'M'N'\) và \(BMN.B'M'N'\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:549927

Phương pháp giải

a) \(\begin{array}{l}\dfrac{{{V_{AMD.A'M'D'}}}}{{{V_{ABCD.A'B'C'D'}}}} = \dfrac{{{S_{\Delta AMD}}.AA'}}{{{S_{ABCD}}.AA'}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}.AM.AD.AA'}}{{AB.AD.AA'}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}.AM.AD}}{{AB.AD}} = \dfrac{{AM}}{{2AB}} = \dfrac{1}{3}\\ \Rightarrow AM = \dfrac{2}{3}AB = \dfrac{{2a}}{3}\end{array}\)

Chứng minh tương tự, ta tính được : \(CN = \dfrac{{2b}}{3}\)

b) Diện tích tam giác vuông bằng nửa tích hai cạnh góc vuông.

\(\dfrac{{{V_{DMN.D'M'N'}}}}{{{V_{BMN.B'M'N'}}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{3}.{S_{\Delta DMN}}.BB'}}{{\dfrac{1}{3}.{S_{\Delta BMN}}.DD'}} = \dfrac{{{S_{\Delta DMN}}}}{{{S_{\Delta BMN}}}}\left( {BB' = DD'} \right) = \dfrac{{\dfrac{5}{{18}}ab}}{{\dfrac{1}{{18}}ab}} = 5\)

Giải chi tiết

a)Vì \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình hộp chữ nhật (gt) \( \Rightarrow ABCD\) là hình chữ nhật

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB \bot AD\\BC \bot CD\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}AM \bot AD\left( {M \in AB} \right)\\NC \bot CD\left( {N \in BC} \right)\end{array} \right.\)

Vì \(AM \bot AD \Rightarrow \Delta AMD\) vuông tại \(A\)\( \Rightarrow {S_{\Delta AMD}} = \dfrac{1}{2}.AM.AD\)

Theo đề bài ta có : \({V_{AMD.A'M'D'}} = {V_{MBND.M'B'N'D'}} = {V_{NCD.N'C'D'}} = \dfrac{1}{3}{V_{ABCD.A'B'C'D'}}\)

\(\dfrac{{{V_{AMD.A'M'D'}}}}{{{V_{ABCD.A'B'C'D'}}}} = \dfrac{{{V_{MBND.M'B'N'D'}}}}{{{V_{ABCD.A'B'C'D'}}}} = \dfrac{{{V_{NCD.N'C'D'}}}}{{{V_{ABCD.A'B'C'D'}}}} = \dfrac{1}{3}\)

\(\begin{array}{l}\dfrac{{{V_{AMD.A'M'D'}}}}{{{V_{ABCD.A'B'C'D'}}}} = \dfrac{{{S_{\Delta AMD}}.AA'}}{{{S_{ABCD}}.AA'}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}.AM.AD.AA'}}{{AB.AD.AA'}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}.AM.AD}}{{AB.AD}} = \dfrac{{AM}}{{2AB}} = \dfrac{1}{3}\\ \Rightarrow AM = \dfrac{2}{3}AB = \dfrac{{2a}}{3}\end{array}\)

Chứng minh tương tự, ta tính được : \(CN = \dfrac{{2b}}{3}\)

b) Ta có :

\(AB = AM + MB \Rightarrow MB = AB - AM = a - \dfrac{{2a}}{3} = \dfrac{a}{3}\)

\(BC = CN + NB \Rightarrow NB = BC - CN = b - \dfrac{{2b}}{3} = \dfrac{b}{3}\)

Vì \(ABCD\) là hình chữ nhật (cmt) \( \Rightarrow AB \bot BC\) (tính chất hình chữ nhật) hay \(BM \bot BN\left( {M \in AB,N \in BC} \right)\)

\( \Rightarrow \Delta BMN\) vuông tại \(B\).

Diện tích \(\Delta BMN\) vuông tại \(B\) là : \({S_{\Delta BMN}} = \dfrac{1}{2}.MB.NB = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3}a.\dfrac{1}{3}b = \dfrac{1}{{18}}ab\)

Diện tích \(\Delta AMD\) vuông tại \(A\) là : \({S_{\Delta AMD}} = \dfrac{1}{2}.AM.AD = \dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3}a.b = \dfrac{1}{3}ab\)

Diện tích \(\Delta NCD\) vuông tại \(C\) là : \({S_{\Delta NCD}} = \dfrac{1}{2}.CN.CD = \dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3}b.a = \dfrac{1}{3}ab\)

Ta có : \({S_{\Delta MND}} = {S_{ABCD}} - \left( {{S_{\Delta AMD}} + {S_{NCD}} + {S_{BMN}}} \right) = ab - \left( {\dfrac{1}{3}ab + \dfrac{1}{3}ab + \dfrac{1}{{18}}ab} \right) = \dfrac{5}{{18}}ab\)

Vậy \(\dfrac{{{V_{DMN.D'M'N'}}}}{{{V_{BMN.B'M'N'}}}} = 5\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link