Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AB = a,\;AD = b\). \(M,N\) lần lượt là hai điểm trên
Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AB = a,\;AD = b\). \(M,N\) lần lượt là hai điểm trên cạnh \(AB,BC\). Mặt phẳng \(\left( {MDD'} \right)\) cắt \(A'B'\) tại \(M'\), mặt phẳng \(\left( {NDD'} \right)\) cắt \(B'C'\) tại \(N'\). Các mặt phẳng đó chia hình hộp chữ nhật thành ba phần bằng nhau và có thể tích bằng nhau.
a) Tính độ dài \(AM,CN\) theo \(a,b\).
b) Tính tỉ số thể tích hai hình lăng trụ đứng \(DMN.D'M'N'\) và \(BMN.B'M'N'\).
Quảng cáo
a) \(\begin{array}{l}\dfrac{{{V_{AMD.A'M'D'}}}}{{{V_{ABCD.A'B'C'D'}}}} = \dfrac{{{S_{\Delta AMD}}.AA'}}{{{S_{ABCD}}.AA'}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}.AM.AD.AA'}}{{AB.AD.AA'}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}.AM.AD}}{{AB.AD}} = \dfrac{{AM}}{{2AB}} = \dfrac{1}{3}\\ \Rightarrow AM = \dfrac{2}{3}AB = \dfrac{{2a}}{3}\end{array}\)
Chứng minh tương tự, ta tính được : \(CN = \dfrac{{2b}}{3}\)
b) Diện tích tam giác vuông bằng nửa tích hai cạnh góc vuông.
\(\dfrac{{{V_{DMN.D'M'N'}}}}{{{V_{BMN.B'M'N'}}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{3}.{S_{\Delta DMN}}.BB'}}{{\dfrac{1}{3}.{S_{\Delta BMN}}.DD'}} = \dfrac{{{S_{\Delta DMN}}}}{{{S_{\Delta BMN}}}}\left( {BB' = DD'} \right) = \dfrac{{\dfrac{5}{{18}}ab}}{{\dfrac{1}{{18}}ab}} = 5\)
a)Vì \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình hộp chữ nhật (gt) \( \Rightarrow ABCD\) là hình chữ nhật
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB \bot AD\\BC \bot CD\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}AM \bot AD\left( {M \in AB} \right)\\NC \bot CD\left( {N \in BC} \right)\end{array} \right.\)
Vì \(AM \bot AD \Rightarrow \Delta AMD\) vuông tại \(A\)\( \Rightarrow {S_{\Delta AMD}} = \dfrac{1}{2}.AM.AD\)
Theo đề bài ta có : \({V_{AMD.A'M'D'}} = {V_{MBND.M'B'N'D'}} = {V_{NCD.N'C'D'}} = \dfrac{1}{3}{V_{ABCD.A'B'C'D'}}\)
\(\dfrac{{{V_{AMD.A'M'D'}}}}{{{V_{ABCD.A'B'C'D'}}}} = \dfrac{{{V_{MBND.M'B'N'D'}}}}{{{V_{ABCD.A'B'C'D'}}}} = \dfrac{{{V_{NCD.N'C'D'}}}}{{{V_{ABCD.A'B'C'D'}}}} = \dfrac{1}{3}\)
\(\begin{array}{l}\dfrac{{{V_{AMD.A'M'D'}}}}{{{V_{ABCD.A'B'C'D'}}}} = \dfrac{{{S_{\Delta AMD}}.AA'}}{{{S_{ABCD}}.AA'}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}.AM.AD.AA'}}{{AB.AD.AA'}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}.AM.AD}}{{AB.AD}} = \dfrac{{AM}}{{2AB}} = \dfrac{1}{3}\\ \Rightarrow AM = \dfrac{2}{3}AB = \dfrac{{2a}}{3}\end{array}\)
Chứng minh tương tự, ta tính được : \(CN = \dfrac{{2b}}{3}\)
b) Ta có :
\(AB = AM + MB \Rightarrow MB = AB - AM = a - \dfrac{{2a}}{3} = \dfrac{a}{3}\)
\(BC = CN + NB \Rightarrow NB = BC - CN = b - \dfrac{{2b}}{3} = \dfrac{b}{3}\)
Vì \(ABCD\) là hình chữ nhật (cmt) \( \Rightarrow AB \bot BC\) (tính chất hình chữ nhật) hay \(BM \bot BN\left( {M \in AB,N \in BC} \right)\)
\( \Rightarrow \Delta BMN\) vuông tại \(B\).
Diện tích \(\Delta BMN\) vuông tại \(B\) là : \({S_{\Delta BMN}} = \dfrac{1}{2}.MB.NB = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3}a.\dfrac{1}{3}b = \dfrac{1}{{18}}ab\)
Diện tích \(\Delta AMD\) vuông tại \(A\) là : \({S_{\Delta AMD}} = \dfrac{1}{2}.AM.AD = \dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3}a.b = \dfrac{1}{3}ab\)
Diện tích \(\Delta NCD\) vuông tại \(C\) là : \({S_{\Delta NCD}} = \dfrac{1}{2}.CN.CD = \dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3}b.a = \dfrac{1}{3}ab\)
Ta có : \({S_{\Delta MND}} = {S_{ABCD}} - \left( {{S_{\Delta AMD}} + {S_{NCD}} + {S_{BMN}}} \right) = ab - \left( {\dfrac{1}{3}ab + \dfrac{1}{3}ab + \dfrac{1}{{18}}ab} \right) = \dfrac{5}{{18}}ab\)
\(\dfrac{{{V_{DMN.D'M'N'}}}}{{{V_{BMN.B'M'N'}}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{3}.{S_{\Delta DMN}}.BB'}}{{\dfrac{1}{3}.{S_{\Delta BMN}}.DD'}} = \dfrac{{{S_{\Delta DMN}}}}{{{S_{\Delta BMN}}}}\left( {BB' = DD'} \right) = \dfrac{{\dfrac{5}{{18}}ab}}{{\dfrac{1}{{18}}ab}} = 5\)
Vậy \(\dfrac{{{V_{DMN.D'M'N'}}}}{{{V_{BMN.B'M'N'}}}} = 5\)
Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
