Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các số phức \(z\) sao cho số phức \(w = \dfrac{1}{{\left| z \right| -

Câu hỏi số 550600:

Vận dụng cao

Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các số phức \(z\) sao cho số phức \(w = \dfrac{1}{{\left| z \right| - z}}\) có phần thực bằng \(\dfrac{1}{8}\). Xét các số phức \({z_1},{z_2} \in S\) thỏa mãn \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right|=2\), giá trị lớn nhất của \(P = {\left| {{z_1} - 5i} \right|^2} - {\left| {{z_2} - 5i} \right|^2}\) bằng:

A. \(16\)

B. \(20\)

C. \(10\)

D. \(32\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:550600

Phương pháp giải

- Đặt \(z = x + yi\).

- Sử dụng phương pháp nhân với số phức liên hợp tìm số phức w theo x, y và suy ra phần thực của w.

- Giải phương trình phần thực w bằng \(\dfrac{1}{8}\) tìm quỹ tích điểm biểu diễn số phức z.

- Đặt A(0;5), M, N lần lượt là các điểm biểu diễn \({z_1},\,\,{z_2}\). Khi đó \(P = A{M^2} - A{N^2}\).

- Thay bằng bài toán vecto, chèn điểm O và tìm P.

- Sử dụng công thức tính vô hướng hai vectơ: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\).

Giải chi tiết

Đặt \(z = x + yi\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}w = \dfrac{1}{{\left| z \right| - z}} = \dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} - \left( {x + yi} \right)}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{{\left( {\sqrt {{x^2} + {y^2}} - x} \right) - yi}}\\\,\,\,\, = \dfrac{{\left( {\sqrt {{x^2} + {y^2}} - x} \right) + yi}}{{2{x^2} + 2{y^2} - 2x\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}\end{array}\)

Vì số phức w có phần thực bằng \(\dfrac{1}{8}\) nên

\(\begin{array}{l}\dfrac{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} - x}}{{2{x^2} + 2{y^2} - 2x\sqrt {{x^2} + {y^2}} }} = \dfrac{1}{8}\,\,\,\left( * \right)\\ \Rightarrow 8\sqrt {{x^2} + {y^2}} - 8x = 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) - 2x\sqrt {{x^2} + {y^2}} \\ \Leftrightarrow 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) - \left( {2x + 8} \right)\sqrt {{x^2} + {y^2}} + 8x = 0\end{array}\)

Đặt \(t = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \,\,\left( {t \ge 0} \right)\), phương trình trở thành: \(2{t^2} - \left( {2x + 8} \right)t + 8x = 0\), có đây là phương trình ẩn t ta có \(\Delta ' = {\left( {x + 4} \right)^2} - 16x = {x^2} - 8x + 16 = {\left( {x - 4} \right)^2} \ge 0\,\,\forall x\).

Phương trình có 2 nghiệm \(\left[ \begin{array}{l}{t_1} = \dfrac{{x + 4 + x - 4}}{2} = x\\{t_2} = \dfrac{{x + 4 - x + 4}}{2} = 4\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\).

TH t = x loại vì khi đó VT (*) bằng 0.

Xét \(t = 4 \Rightarrow {x^2} + {y^2} = 16\).

Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức \({z_1},\,\,{z_2}\) là đường tròn (C) tâm O(0;0), bán kính R= 4.

Đặt A(0;5), M, N lần lượt là các điểm biểu diễn \({z_1},\,\,{z_2}\). Khi đó

\(\begin{array}{l}P = A{M^2} - A{N^2} = {\left( {\overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OM} } \right)^2} - {\left( {\overrightarrow {AO} + \overrightarrow {ON} } \right)^2}\\ = A{O^2} + 2\overrightarrow {AO} .\overrightarrow {OM} + O{M^2} - A{O^2} - 2\overrightarrow {AO} .\overrightarrow {ON} - O{N^2}\\ = 2\overrightarrow {AO} \left( {\overrightarrow {OM} - \overrightarrow {ON} } \right) + O{M^2} - O{N^2}\end{array}\)

Vì M, N cùng thuộc (C) nên OM = ON \( \Rightarrow P = 2\overrightarrow {AO} .\overrightarrow {NM} = 2AO.NB.\cos \left( {\overrightarrow {AO} ,\overrightarrow {NM} } \right)\).

\( \Rightarrow P \le 2AO.NM = 2.5.2 = 20\).

Vậy P_max = 20 khi \(\overrightarrow {AO} ,\,\,\overrightarrow {NM} \) cùng phương.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.